\(P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}\) ( do \(y\geq 1)\)

\(x> \frac{1}{3}=>3x-1> 0 \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: 

\(x^{2}+\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}}=\frac{x^{2}}{3x-1}\)

Ta cm: \(\frac{x^{2}}{3x-1}\geq \frac{1}{2}<=>2x^{2}\geq 3x-1<=>(x-1)(2x-1)\geq 0\) đúng do \(\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}\)

\(1+\frac{3x^{2}}{4(3x-1)^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}})\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2.\frac{x}{3x-1}\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2=\frac{7}{4}\)

Do \(\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3}.\frac{3x}{3x-1}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3x-1})\geq \frac{1}{3}(1+\frac{1}{\frac{3}{2}-1})=1\)

\(<=>y=1,x=\frac{1}{2}\)

Phù ~ THỞ PHÀO NHẸ NHÕM

Thôi không cần giúp nha , mình biết làm rồi , các bạn xem đúng chưa :

                                    Giải:

\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{8a}{9}+\left(\frac{a}{9}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{24}{9}+2\sqrt{\frac{a}{9}.\frac{1}{a}}=\frac{10}{3}\)

Nghĩ mãi 10 phút mới ra

Vì \(a\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a>0\\\frac{1}{a}>0\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thứ Cô si cho 2 số nguyên dương a;1/a ta có:

\(a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2\)\(\Rightarrow S\ge2\)

\(S=2\Leftrightarrow a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(vì a>0)

Vậy: \(minS=2\Leftrightarrow a=1\)

ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}6+x\ge0\\198+x+2y\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-6\\2y\ge-198-x\end{cases}}}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-6\\2y\ge198+6\end{cases}}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-6\\y\ge-96\end{cases}}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được

\(A=\sqrt{6+x}+\sqrt{198+x+2y}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(\sqrt{\left(6+x\right)^2}+\sqrt{\left(198+x+2y\right)^2}\right)}\)

                                                                              \(=\sqrt{2\left(6+x+198+x+2y\right)}\)

                                                                               \(=\sqrt{2\left(204+2x+2y\right)}\)\(\le\sqrt{2\left(204+2.10\right)}\)

                                                                                                                                                    \(=\sqrt{448}\)                     

     Nên \(A\le\sqrt{448}\)                                                                                 

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)và \(x+y=10\)

                      hay \(\frac{6+x}{1}=\frac{198+x+2y}{1}\)

                          \(\Leftrightarrow6+x=198+x+2y\)

                          \(\Leftrightarrow2y=-192\)

                          \(\Leftrightarrow y=-96\)

Kết hợp \(x+y=10\Rightarrow x=10-\left(-96\right)=106\)

Vậy \(A_{max}=\sqrt{448}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=106\\y=-96\end{cases}}\)

P/S : Lần sau những kẻ ngu mà tỏ ra mình giỏi thì hãy rút kinh nghiệm ...

\(A=\sqrt{6+x}+\sqrt{198+x+2y}\)

\(\Leftrightarrow A^2=\left(\sqrt{6+x}+\sqrt{198+x+2y}\right)^2\)

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có: 

\(A^2=\left(\sqrt{6+x}+\sqrt{198+x+2y}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(6+x+198+x+2y\right)=2.\left(2x+2y+204\right)\)

\(\le2.\left(20+204\right)=448\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{448}\)

\(A=\sqrt{448}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=10\\\frac{1}{6+x}=\frac{1}{198+x+2y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=10\\6+x=198+x+2y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=10\\192+2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=106\\y=-96\end{cases}}\)

Vậy \(A_{max}=\sqrt{448}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=106\\y=-96\end{cases}}\)

P/S: mới lớp 8, sai sót xin bỏ qua~

\(\text{Đặt x x ;2 là chiều dài và chiều rộng bể cá, còn h là chiều cao Khi đó diện tích kính cần sử dụng là }\)

5,5= 6xh + 2x² =3xh+3xh \(\ge\)3³\(\sqrt{18x^4.h^2}\Rightarrow4x^4h^2\le\frac{2.5,5^3}{3^5}\)

\(\text{Kí hiệu V là thể tích bể cá thì V=}\) 2x² h  \(\le\sqrt{\frac{2.5,5^3}{3^5}\approx1,17m^3}\)

xin loi sua lai cau vua lam bi thieu cho boi den ay

\(\text{Đặt x x ;2 là chiều dài và chiều rộng bể cá, còn h là chiều cao Khi đó diện tích kính cần sử dụng là }\)

5,5= 6xh + 2x² =3xh+3xh +2x² \(\ge\)3³\(\sqrt{18x^4.h^2}\Rightarrow4x^4h^2\le\frac{2.5,5^3}{3^5}\)

\(\text{Kí hiệu V là thể tích bể cá thì V=}\) 2x² h  \(\le\sqrt{\frac{2.5,5^3}{3^5}\approx1,17m^3}\)

\(\text{Đặt x x ;2 là chiều dài và chiều rộng bể cá, còn h là chiều cao Khi đó diện tích kính cần sử dụng là }\)

5,5= 6xh + 2x² =3xh+3xh \(\ge\)3³\(\sqrt{18x^4.h^2}\Rightarrow4x^4h^2\le\frac{2.5,5^3}{3^5}\)

\(\text{Kí hiệu V là thể tích bể cá thì V=}\) 2x² h  \(\le\sqrt{\frac{2.5,5^3}{3^5}\approx1,17m^3}\)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( O ), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm )

a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp

b)Cho bán kính đường tròn ( O ) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC

c) Gọi ( K ) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tạo C. Đường trknf (K) và đường tròn (O ) cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Chứng minh rằng đường thẳng BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC

= 0 nha