Câu 1:

G/s \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ có thể viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)

=> \(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\)

<=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\)

=> \(a^2=7b^2\)

=> \(a^2⋮b^2\) , mà theo đề bài phân số tối giản

=> a không chia hết cho b => a² không chia hết cho b² 

=> vô lý

=> \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Câu 2:

a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2c^2+b^2d^2\right)\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

b) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)

\(=a^2c^2+2\sqrt{a^2d^2.b^2c^2}+b^2d^2\)

\(\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\) ( bất đẳng thức Cauchy )

Dấu "=" xảy ra khi: \(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Kẻ AE⊥AN⇒ˆEAN=90o⇒ˆDAE=15o,AB=AD,ˆB=ˆD⇒ΔADE=ΔABM⇒AE=AMAE⊥AN⇒EAN^=90o⇒DAE^=15o,AB=AD,B^=D^⇒ΔADE=ΔABM⇒AE=AM

Theo hệ thức..... ⇒1AH2=1AE2+1AN2⇒1AH2=1AM2+1AN2⇒1AH2=1AE2+1AN2⇒1AH2=1AM2+1AN2

Lại có AH2+HD2=AD2⇒AH2=AD2−HD2=AD2−AD24⇒AH2=34AD2⇒1AH2=43AB2AH2+HD2=AD2⇒AH2=AD2−HD2=AD2−AD24⇒AH2=34AD2⇒1AH2=43AB2

Kẻ AE⊥AN⇒ˆEAN=90o⇒ˆDAE=15o,AB=AD,ˆB=ˆD⇒ΔADE=ΔABM⇒AE=AMAE⊥AN⇒EAN^=90o⇒DAE^=15o,AB=AD,B^=D^⇒ΔADE=ΔABM⇒AE=AM

Theo hệ thức..... ⇒1AH2=1AE2+1AN2⇒1AH2=1AM2+1AN2⇒1AH2=1AE2+1AN2⇒1AH2=1AM2+1AN2

Lại có AH2+HD2=AD2⇒AH2=AD2−HD2=AD2−AD24⇒AH2=34AD2⇒1AH2=43AB2AH2+HD2=AD2⇒AH2=AD2−HD2=AD2−AD24⇒AH2=34AD2⇒1AH2=43AB2

Vậy....

a/    Fe → FeCl₂ → Fe(OH)₂ → FeSO₄ → Fe(NO₃)₂ → Fe₂(SO₄)₃ → Fe(OH)₃ → Fe₂O₃ → Fe → FeCl₃

1. Fe + 2HCl → FeCl₂ + H₂

2. FeCl₂ + Ba(OH)₂ → Fe(OH)₂ + BaCl₂ 

3. Fe(OH)₂ + H₂SO₄ → FeSO₄ + 2H₂O

4. FeSO₄ + Ba(NO₃)₂ → Fe(NO₃)₂ + BaSO₄

5. 6Fe(NO₃)₂ + 9H₂SO₄ → 3Fe₂(SO₄)₃ + 4H₂O + 10HNO₃ + NO

6. Fe₂(SO₄)₃ + 6NaOH → 2Fe(OH)₃ + 3Na₂SO₄

7. 2Fe(OH)₃ → (nhiệt độ) Fe₂O₃ + 3H₂O

8. Fe₂O₃ + 3CO → (nhiệt độ) 2Fe + 3CO₂

9. Fe + Cl₂ → (nhiệt độ) FeCl₃

b/    Al → Al₂O₃  →  AlCl₃ → Al(OH)₃ → Al₂O₃  → Al → NaAlO₂

1. 4Al + 3O₂ → (nhiệt độ) 2Al₂O₃

2. Al₂O₃ + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂O

3. 2AlCl₃ + 3Ca(OH)₂ → 2Al(OH)₃ + 3CaCl₂

4. 2Al(OH)₃ → (nhiệt độ) Al₂O₃ + 3H₂O

5. 2Al₂O₃ → (nhiệt độ) 4Al + 3O₂

6. 2Al + 2H₂O + 2NaOH → 2NaAlO₂ + 3H₂

Vẽ DF _|_ AH tại F, do đó AF=HE, HA=FE

Áp dụng đinhk lý Pytago vào các tam giác vuông HEB, FDE, HAB, FAD, ABD ta sẽ chứng minh \(BE^2+ED^2=BD^2\)

Do đó \(\Delta\)BED vuông tại E => \(\widehat{BED}=90^0\)

*Không hiểu chỗ nào inbox*

Gọi E là điểm đối xứng của C qua A

=> \(\Delta\)BCE vuông tại E => \(HC=\frac{BC^2}{CE}=\frac{BC^2}{2AC}\)

\(AH=AC-HC=AC-\frac{BC^2}{2AC}=\frac{2AC^2-BC^2}{2AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{HC}=2\left(\frac{AC}{BC}\right)^2-1\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\forall x;y;z\inℝ\)ta có

\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc>0\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\sqrt{abc}\)

Ta có \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\forall a;b;c>0\)

Thật vậy \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=1+\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

\(\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc=\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

Khi đó \(P\le\frac{2}{3\left(1+\sqrt{abc}\right)}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt{abc}}{6}\)

Đặt \(\sqrt[6]{abc}=t\Rightarrow\sqrt[3]{abc}=t^2,\sqrt{abc}=t^3\)

Vì a,b,c>0 nên 0<abc\(\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=1\Rightarrow0< t\le1\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{2}{3\left(1+t^3\right)}+\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1}{6}t^3;t\in(0;1]\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{2t\left(t-1\right)\left(t^5-1\right)}{\left(1+t^3\right)^2\left(1+t^2\right)^2}+\frac{1}{2}t^2>0\forall t\in(0;1]\)

Do hàm số đồng biến trên (0;1] nên \(f\left(t\right)< f\left(1\right)\Rightarrow P\le1\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

\(\frac{3}{\sqrt{5}+2}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{4}{3-\sqrt{5}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{4\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}\)

\(=\frac{3\sqrt{5}-6}{5-4}+\frac{\text{​​}\sqrt{2}+1}{2-1}-\frac{4\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}\)

\(=3\sqrt{5}-6+\text{​​}\sqrt{2}+1-3+\sqrt{5}\)

\(=2\sqrt{5}-8+\text{​​}\sqrt{2}\)