a/

Xét tg ABD có

\(\widehat{DAE}=\widehat{BAE}\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AD}{AB}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (1)

Xét tg ADC có

\(\widehat{ADF}=\widehat{CDF}\Rightarrow\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AD}{CD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (2)

Xét hình bình hành ABCD có

\(AB=CD\) (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AD}{CD}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\)

b/

Ta có

\(\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)

Ta có

EB=OB+OE; DE=OD-OE

Mà OB=OD (trong hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> EB-DE=OB+OE-OB+OE=2OE

C/m tương tự ta cũng có

FC-AF=2OF

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}=\dfrac{2OE}{2OF}=\dfrac{OE}{OF}\Rightarrow\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\)

Xét tg AOD có

\(\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\left(cmt\right)\) => EF//AD (Talet đảo trong tg)

Mà AD//BC (cạnh đối hbh) 

=> EF//BC

a/

Xét tg ADB có

\(\widehat{ADM}=\widehat{BDM}\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{BD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (1)

Xét tg ADC có

\(\widehat{ADN}=\widehat{CDN}\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AD}{CD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (2)

Mà BD = CD (gt) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AD}{CD}\) (3)

Xét tg ABC

Từ (1) (2) (3) => \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\) => MN//BC (Talet đảo trong tg)

b/ Ta có

AB=AC (gt)

BD=CD (gt)

\(\Rightarrow AD\perp BC\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Mà MN//BC

\(\Rightarrow AD\perp MN\)

Ta có

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Xét tg vuông AMI và tg vuông ANI có

AI chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (cmt)

=> tg AMI = tg ANI (Hai tg cân có 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn tương ứng bằng nhau) => MI=NI

c/

Xét tg vuông ABD có

\(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}\) (Pitago)

Ta có \(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12cm\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{9^2+12^2}=15cm\)

Ta có

\(\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{AD}{BD}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7}\)

Ta có

MN//BC (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MI}{BD}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow MI=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{3BD}{7}\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{6BD}{7}=\dfrac{6.12}{7}=\dfrac{72}{7}cm\)

a/ 

Xét tg ABC có

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow BD=\dfrac{3BC}{8}=\dfrac{3.28}{8}=10,5cm\)

\(\Rightarrow DC=BC-BD=28-10,5=17,5cm\)

Ta có DE//AB \(\Rightarrow\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{DE}{AB}\Rightarrow DE=\dfrac{DC.AB}{BC}=\dfrac{17,5.12}{28}=7,5cm\)

b/

2 tg ABD và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{3.S_{ABC}}{8}=\dfrac{3S}{8}\)

\(\Rightarrow S_{ACD}=S_{ABC}-S_{ADC}=S-\dfrac{3S}{8}=\dfrac{5S}{8}\)

 

Hình a

Do AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB+AC}{BD+CD}=\dfrac{20+15}{25}=\dfrac{7}{5}\)

\(\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow CD=\dfrac{5AC}{7}=\dfrac{75}{7}\)

Đa thức đã cho không phân tích thành nhân tử được

*Đoán nghiệm sử dụng tính chất của đa thức:

 Ta dễ dàng nhận thấy đa thức \(P\left(x\right)=x^3+4x^2-19x+24\) không có nghiệm là \(\pm1\).

 Giả sử \(P\left(x\right)\) có nghiệm hữu tỉ dạng \(\dfrac{p}{q}\left(p,q\inℤ\right)\), không mất tổng quát giả sử \(q>0\). Khi đó \(p|24\), \(q|1\) \(\Rightarrow q=1\).

 Khi đó do \(P\left(x\right)\) không có nghiệm là \(\pm1\) nên \(p\in\left\{\pm2,\pm3,\pm4;\pm6;\pm8;\pm12;\pm24\right\}\)

 Thử lại, ta thấy không có số \(p\) nào thỏa mãn \(\dfrac{p}{q}\) là nghiệm của P(x). Vậy đa thức \(P\left(x\right)\) không có nghiệm hữu tỉ \(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) không thể phân tích thành nhân tử.

 * Chú ý rằng chỉ khi \(degP\left(x\right)\le3\) hoặc \(degP\left(x\right)⋮̸2\) thì từ P(x) không có nghiệm hữu tỉ mới suy ra được P(x) không phân tích được thành nhân tử nhé. Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}degP\left(x\right)\ge4\\degP\left(x\right)⋮2\end{matrix}\right.\) thì chưa chắc điều này đã đúng. VD: Đa thức \(Q\left(x\right)=x^4+4\) không có nghiệm hữu tỉ (nó thậm chí còn không có nghiệm thực) nhưng ta vẫn có thể phân tích thành nhân tử như sau:

 \(Q\left(x\right)=x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2\)

\(=\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)\)