Tính diện tích OEO'B theo R

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{x^2+2x\sqrt{3}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}-1-\left|x+\sqrt{3}\right|=0\)

*Nếu \(x\ge-\sqrt{3}\Rightarrow pt:\sqrt{3}-1-x-\sqrt{3}=0\)

                                 \(\Leftrightarrow x=-1\left(tm\right)\)

*Nếu \(x< -\sqrt{3}\Rightarrow pt:\sqrt{3}-1+x+\sqrt{3}=0\)

                                 \(\Leftrightarrow x=1-2\sqrt{3}\left(Loai\right)\)

Vậy x = -1

TH2: cái \(x=1-2\sqrt{3}< -\sqrt{3}\)  mà ? Sao lại loại?

\(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}+\frac{x}{4}+\frac{4}{x}=\frac{49}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{7}{x}=\frac{49}{12}\)

\(\Leftrightarrow\frac{7x^2+84}{12x}=\frac{49}{12}\)

\(\Leftrightarrow84x^2+1008=588x\)

\(\Leftrightarrow84x^2-588x+1008=0\)

\(\Leftrightarrow84\left(x^2-7x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow84\left(x-4\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-4=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=4\\x=3\end{cases}}\)

N⁰ pt là:S={3;4}

\(ĐKXĐ:x^2+3x\ge0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\le-3\\x\ge0\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+2x+3}=a\left(a\ge0\right)\)

      \(\sqrt{x^2+3x}=b\left(b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow a^2-b^2=3-x\)

Ta có pt : \(a-b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(1-a-b\right)=0\)

Làm nốt nha !

a) Gọi Ax là tia tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂), AF cắt (C₂) tại G khác A.

Ta có: ^GAx = ^GMA, ^FAx = ^FEA => ^GMA = ^FEA => GM // EF. Mà EF là tiếp tuyến tại I của (C₂)

Nên C₂I vuông góc GM. Do GM là dây cung của (C₂) nên I là điểm chính giữa cung nhỏ GM

=> AI là phân giác của ^GAM hay AI là phân giác của ^FAE => \(\frac{AF}{AE}=\frac{IF}{IE}\) 

Tương tự: \(\frac{BF}{BE}=\frac{IF}{IE}\). Từ đó: \(\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{BE}\Rightarrow AF.BE=AE.BF\)

Áp dụng ĐL Ptolemy vào tứ giác AEBF nội tiếp có: \(AF.BE+AE.BF=AB.EF\)

Hay \(2AE.BF=2AB.ED\). Suy ra: \(\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BF}\) kết hợp với ^AED = ^ABF (Cùng chắn cung AF)

=> \(\Delta\)ADE ~  \(\Delta\)AFB (c.g.c) => ^DAE = ^FAB. Mà ^IAE = ^IAF (cmt) => ^IAD = ^IAB

=> AI là phân giác ^BAD (1)

Cũng từ \(\Delta\)ADE ~ \(\Delta\)AFB =>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AF}{AB}\); ^FAD = ^BAE => \(\Delta\)ADF ~ \(\Delta\)AEB (c.g.c)

=> ^ADF = ^AEB hay ^ADI = ^AEB. Tương tự: ^BDI = ^AEB => ^ADI = ^BDI => DI là phân giác ^ADB (2)

Từ (1);(2) suy ra: Điểm I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABD (đpcm).

b) Gọi My là tia đối của MN ta có ^AMy = ^EMN (3)

Ta thấy: IE là tiếp tuyến chung của (C₂);(C₃) => EM.EA = EN.EB (=EI²) => Tứ giác AMNB nội tiếp

=> ^EMN = ^EBA = ^EFA = ^MGA (Do GM // EF) (4)

Từ (3);(4) suy ra: ^MGA = ^AMy = 1/2.Sđ(AM => My là tia tiếp tuyến của (C₂) hay MN là tiếp tuyến của (C₂)

Hoàn toàn tương tự: MN cũng là tiếp tuyến của (C₃). Từ đó: MN là tiếp tuyến chung của (C₂) và (C₃) (đpcm).