Cho tứ giác ABCD có A=36 độ; B= 72 độ; C= 108 độ; D= 144 độ.
Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Tia phân giác của góc E cắt AB tại F. CMR AF=FE=BE
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x+a\right)+5=x^2-a^2+5\). Để P(x) phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên thì \(P\left(x\right)=\left(x-c\right)\left(x-d\right)\) (vì hệ số cao nhất của P(x) bằng 1). Ta có:
\(P\left(x\right)=x^2-\left(c+d\right)x+cd\)
Đồng nhất hệ số, ta thu được \(\left\{{}\begin{matrix}c+d=0\\cd=5-a^2\end{matrix}\right.\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(c>0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=-c\\-c^2=5-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-c^2=5\) \(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=5\). Do \(a-c< a+c\) nên ta xét các trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-c=1\\a+c=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d=-2\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-c=-5\\a+c=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\c=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow d=-2\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
Vậy \(a=\pm3\) thỏa ycbt.
b) Kĩ thuật tương tự nhé.
Để Q(x) phân tích được thành tích của 2 đa thức bậc nhất hệ số nguyên thì
a) Đối với đa thức (x+a)(x-a)+5:
Để phân tích thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên, ta cần giải phương trình (x + a)(x - a) + 5 = 0:
x² - a² + 5 = 0.
Các giá trị của a mà khi thay vào phương trình trên, phương trình có nghiệm nguyên là các giá trị riêng. Nhưng phương trình x² - a² + 5 = 0 là một phương trình bậc hai, do đó ta có thể sử dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
Ở đây, a = 1, b = 0 và c = -a² + 5.
Thay vào phương trình, ta có:
x = [0 ± √(0 - 4(1)(-a² + 5)) / (2(1)]
= [± √(4a² - 20)] / 2
= ± √(a² - 5) / 2.
Để phương trình có nghiệm nguyên, a² - 5 phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể tìm các giá trị nguyên của a bằng cách xét từng giá trị nguyên cho a và kiểm tra xem a² - 5 có phải là bình phương của một số nguyên hay không.
Ví dụ, nếu a = 1, ta có:
a² - 5 = 1² - 5 = -4,
-4 không phải là bình phương của một số nguyên, vì vậy a = 1 không phải là giá trị riêng của đa thức.
Tiếp tục quá trình trên với các giá trị nguyên khác của a, ta sẽ tìm được giá trị của a mà khi thay vào phương trình (x + a)(x - a) + 5 = 0, phương trình có nghiệm nguyên là giá trị riêng.
b) Đối với đa thức (a - x)(5 - x) - 3:
Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên của đa thức này cũng tương tự như trên. Ta giải phương trình (a - x)(5 - x) - 3 = 0:
(a - x)(5 - x) - 3 = 0.
Tương tự như trên, ta có thể sử dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).
Ở đây, a = 1, b = 6 - a và c = -3.
Thay vào phương trình, ta có:
x = [(a - 6) ± √((6 - a)² - 4(-3)(1))] / (2)
Sau đó, ta tìm các giá trị của a mà làm cho phương trình có nghiệm nguyên.
a) Ta có :
\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)
\(\Rightarrow AE+BE=AD+DC\)
mà \(AE=BE\) (CE là trung tuyến nên E là trung điểm AB)
\(AD=DC\) (BD là trung tuyến nên D là trung điểm AC)
\(\Rightarrow AE=AD\)
Xét Δ ABD và Δ ACE có :
\(AB=AC\) (Δ ABC cân tại A)
Góc A chung
\(AE=AD\left(cmt\right)\)
⇒ Δ ABD = Δ ACE (góc, cạnh, góc)
\(\Rightarrow BD=CE\)
b) Xét tứ giác BCDE có :
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (Δ ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\))
\(BD=CE\left(cmt\right)\)
⇒ Tứ giác BCDE là hình thang cân
c) Ta có :
CE là trung tuyến Δ ABC
BD là trung tuyến Δ ABC
⇒ ED là đường trung bình Δ ABC
\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}BC\)
mà H là trung điểm BC (Δ ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao và trung tuyến)
\(\Rightarrow ED=BH\)
Xét tứ giác BHDE có :
ED song song BH (BCDE là hình thang cân nên ED song song BC)
\(ED=BH\left(cmt\right)\)
⇒ Tứ giác BHDE là hình bình hành.
Mink trình bày theo ý hiểu nhé
Vì MN // AC và MP // AB, ta có các cặp góc tương đương:
=>Góc MNP = Góc BAC (do MN // AC và MP // AB)
=>Góc ANM = Góc ABC (do MN // AC và tam giác ANM là tam giác đồng dạng với tam giác ABC)
=>Góc NPA = Góc MAC (do MP // AB và tam giác MNP là tam giác đồng dạng với tam giác MAB)
Ta có cặp góc tương đương: Góc PAM = Góc CAB (do MP // AB)
=> cặp góc đối nhau: Góc MNP = Góc BAC và Góc PAM = Góc CAB; Góc MNP = Góc PAM và Góc NPA = Góc ANM.
Vậy tứ giác ANMP là hình bình hành.
b) Để đoạn thẳng NP là nhỏ nhất, điểm M nằm ở trung điểm của BC.
Khi M nằm ở trung điểm của BC (hay AM = MC), ta có tứ giác ANMP là hình bình hành với đường chéo NP.
Trong hình bình hành, đoạn thẳng NP (đoạn chéo) là cực tiểu khi nó bằng chiều cao kẻ từ đỉnh A xuống đoạn thẳng BC. Khi M nằm ở trung điểm của BC, thì AM = MC, tức là đoạn thẳng NP chính là chiều cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A xuống BC.
Vậy để NP là nhỏ nhất, điểm M phải nằm ở trung điểm của BC.
\(x^2+3y^2+2xy-18\left(x+y\right)=73\)
\(\Leftrightarrow x^2+3y^2+2xy-18x-18y-73=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(9-y\right)x+3y^2-18y-73=0\)
\(\Delta'=\left(9-y\right)^2-\left(3y^2-18y-73\right)\)
\(=81-18y+y^2-3y^2+18y+73\)
\(=-2y^2+154\)
\(=-2\left(y^2-77\right)\)
Phương trình có nghiệm khi \(\)
\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow-2\left(y^2-77\right)\ge0\Leftrightarrow y^2-77\le0\)
\(\Leftrightarrow y^2\le77\Leftrightarrow-\sqrt[]{77}\le y\le\sqrt[]{77}\)
Phương trình có 2 nghiệm là
\(\left[{}\begin{matrix}x_1=9-y+\sqrt[]{-2\left(y^2-77\right)}\\x_2=9-y-\sqrt[]{-2\left(y^2-77\right)}\end{matrix}\right.\) \(\left(-\sqrt[]{77}\le y\le\sqrt[]{77}\right)\)
a) \(x^4+8x+63\)
\(=x^4+4x^3+9x^2-4x^3-16x^2-36x+7x^2+28x+63\)
\(=x^2\left(x^2+4x+9\right)-4x\left(x^2+4x+9\right)+7\left(x^2+4x+9\right)\)
\(=\left(x^2+4x+9\right)\left(x^2-4x+7\right)\)
c) \(\left(x^2+2x+7\right)+\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+2x+3\right)\left(1\right)\)
Ta có : \(x^3-8=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\)
\(\Rightarrow x^2+2x+4=\dfrac{x^3-8}{x-2}\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\left[\left(\dfrac{x^3-8}{x-2}+3\right)\right]+\left(x^2-2x+4\right)\left[\left(\dfrac{x^3-8}{x-2}-1\right)\right]\)
\(=\left[\left(\dfrac{x^3-3x-14}{x-2}\right)\right]+\left(x^2-2x+4\right)\left[\left(\dfrac{x^3-2x-5}{x-2}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{x-2}\left[x^3-3x-14+\left(x^2-2x+4\right)\left(x^3-2x-5\right)\right]\)
A= 8x3 - 12x2y + 12xy2 - y3 + 12x2 - 12xy + 3y2 + 6x - 3y + 11
Ta có:
8x3 - 12x2y + 12xy2 - y3 = (2x - y)3 = 93 = 729
12x2 - 12xy + 3y2 = 4x2 - 4xy + y2 + 8x2 - 8xy + 2y2
= (2x - y)2 + 2 (4x2 - 4xy + y2)
= (2x - y)2 + 2(2x - y)2
= 92 + 2.92
= 243
6x - 3y = 3(2x - y) = 3.9 = 27
Vậy A= 8x3 - 12x2y + 12xy2 - y3 + 12x2 - 12xy + 3y2 + 6x - 3y + 11 = 729 + 243 + 27 =999