\(Đkxđ:x\ge-1\)

Ta có: \(\sqrt{x+1}+2x\sqrt{x+3}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}\)

\(\Leftrightarrow2x\sqrt{x+3}-2x+\sqrt{x+1}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(\sqrt{x+3}-1\right)-\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x+3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-1\right)\left(\sqrt{x+1}-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=1\left(1\right)\\\sqrt{x+1}=2x\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x=-2\left(l\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x+1=4x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\4x^2-x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\left(tmđk\right)\)

Vậy pt đã cho cs nghiệm \(s=\frac{1+\sqrt{17}}{8}\)

Đường thẳng đoạn chắn qua M (3,1) có pt và a+3b min
a+3b=12, b= a/3 
a=6, b=2
Đường thẳng d cắt trục hoành tai điểm A(6,0), B(0,2)

??
 

Giả sử \(A\left(\frac{1}{a},0\right),B\left(0,\frac{1}{b}\right)\). Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng: \(ax+by=1\)

Vì  \(M\left(3,1\right)\in d\)nên \(3a+b=1\)

Ta có : \(OA+3OB=\left|\frac{1}{a}\right|+\left|\frac{3}{b}\right|\ge\left|\frac{1}{a}+\frac{3}{b}\right|=\left|\frac{3a+b}{a}+\frac{3\left(3a+b\right)}{b}\right|=\left|6+\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}\ge2\sqrt{\frac{9ab}{ab}}=6\)

\(\Rightarrow OA+3OB\ge\left|6+6\right|=12\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{2}\)

ĐK: \(x\ge-2;y\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left(x-y+3\right)=\sqrt{y}\\x^2+\left(x+3\right)\left(2x-y+5\right)=x+16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left[\left(x+2\right)-y+1\right]=\sqrt{y}\\3\left(x^2+4x+4\right)-2\left(x+2\right)-y\left(x+2\right)-y-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}\left[\left(x+2\right)-y+1\right]=\sqrt{y}\\3\left(x+2\right)^2-2\left(x+2\right)-y\left(x+2\right)-y-9=0\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+2}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{y}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)Hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3+a-ab^2=b\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(a^2+ab+1\right)=0\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\left(a^2+ab+1>0\right)\\3a^4-2a^2-a^2b^2-b^2-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\2a^4-3a^2-9=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\a^2=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)( thỏa mãn )

Kết luận: ...

Ta thử nha :)) Có gì sai thì chỉ bảo nhé :

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca-3a^2+6ab-3b^2\ge\right)0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+4c\left(c-b-a\right)\right]\ge0\) ( luôn đúng với a,b,c > 0 ?? )

Vậy ta có điều phải chứng minh ?

Xin phép làm lại nha :))

Ta có BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ca-4bc-3a^2-3b^2+6ab\ge\right)0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh .

Nãy có sửa đề xong làm rồi nhưng tưởng sai nên bỏ thấy cô Chi cmt nên tui cũng nghĩ là sai giờ làm nha!
Đề: \(\hept{\begin{cases}x^3+2xy^2+12y=0\\x^2+8y^2=12\end{cases}}\)

~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~

Ta thấy nếu hệ có nghiệm \(\left(x,y\right)\Rightarrow y\ne0\)Vì nếu \(y=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=19\\x^3=0\end{cases}\left(vl\right)}\)

Khi: \(y\ne0\)thay \(12=x^2+8y^2\)vào pt sau:

\(x^3+2xy^2+y\left(x^2+8y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y+2xy^2+8y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{x}{y}\right)^2+2\left(\frac{x}{y}\right)+8=0\)

Đặt: \(t=\frac{x}{y}\Rightarrow t^3+t^2+2t+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+2\right)\left(t^2-t+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t=-2\)(Vì \(t^2-y+4=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\))

Nên suy ra: \(x=-2y\)

Thay \(x=-2y\)vào pt thứ 2 ta được:

\(4y^2+8y^2=12\)

\(\Leftrightarrow y^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

• Khi \(y=1\Rightarrow x=-2\)
• Khi \(y=-1\Rightarrow x=2\)

Vậy hệ pt có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(2;-1\right);\left(-2;1\right)\)

Em xem xem có bị nhầm đề không?. Trước kia cô từng thấy bài này nhưng mà \(8y^2\). Xem lại đề giúp cô nha!