\(\Leftrightarrow x^2+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}-2\frac{x^2}{x+1}+2\frac{x^2}{x+1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\frac{x^2}{x+1}-1=0\)

Ta có: \(2021^2=\left(2020+1\right)^2=2020^2+2.2020.1+1^2\)

\(\Rightarrow1+2020^2=2021^2-2.2020\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2020^2+\frac{2020^2}{2021}}+\frac{2020}{2021}\)

\(=\sqrt{2021^2-2.2020+\frac{2020^2}{2021}}+\frac{2020}{2021}\)

\(=\sqrt{2021^2-2.2021.\frac{2020}{2021}+\left(\frac{2020}{2021}\right)^2}+\frac{2020}{2021}\)

\(=\sqrt{\left(2021-\frac{2020}{2021}\right)^2}+\frac{2020}{2021}\)

\(=2021-\frac{2020}{2021}+\frac{2020}{2021}=2021\)

Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

và \(E=x+y+z\)

\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)

\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

           \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)

mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)

_Hắc phong_

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :

\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)

                                                (6 số \(\frac{5}{2}x\))                                                     (5 số\(3y\))                    (4 số\(\frac{15}{4}z\))

\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)

Và cũng có : 

\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)

                                                  (3 số\(10x\))                              (5 số\(12y\))                   (7 số\(15z\)) 

\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)

Điều này có nghĩa là :

\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)

Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)

Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)

Từ đó suy ra

\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)

P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)

_Minh ngụy_

(=) \(\frac{2x-3}{x-1}\)=4

(=) 2x-3=4x -4

(=) -2x = -1

(=) x = \(\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\)( điều kiện :......)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}\right)^2=2^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow2x-3=4\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-3=4x-4\)

\(\Leftrightarrow4x-2x=-3+4\)

\(\Leftrightarrow2x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)( đối chiếu điều kiện )

Kết luận :.......

_Hắc phong_

ĐKXĐ: \(2x+5\ge0\Leftrightarrow x\ge-\frac{5}{2}\)

\(\sqrt{2x+5}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+5}^2=25\)

\(\Leftrightarrow2x+5=25\)

\(\Leftrightarrow x=10\)

Vậy x=10 

\(\sqrt{2x+5}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+5}^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow2x+5=25\)

\(\Leftrightarrow2x=20\)

\(\Leftrightarrow x=10\)

Vậy \(S=\left\{10\right\}\)

\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)     ( SỬA ĐỀ)

\(\sqrt{x-1-2.2.\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-2.3.\sqrt{x-1}+9}=1\)

\(|x-1-2|+|x-1-3|=1\)

\(|x-3|+|x-4|=1\)

Với  \(x\le3\)thì  PT thành  \(3-x+4-x=1\) \(\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3\)(thõa mãn)

Với  \(3\le x< 4\)thì PT thành  \(x-3+4-x=1\Leftrightarrow0x=0\Rightarrow\)Đúng với mọi x từ \(3\le x< 4\)

Với  \(x\ge4\)thì PT thành  \(x-3+x-4=1\Leftrightarrow2x=8\Leftrightarrow x=4\)(thõa mãn)

Vậy  \(3\le x\le4\)

Dấu căn của x-1 đâu bạn j eiiiii