1/   \(4x^2-12xy+9y^2=\left(2x\right)^2-2.2.3xy+\left(3y\right)^2\)

\(=\left(2x-3y\right)^2\)

2/   \(x^3-y^6=x^3-\left(y^2\right)^3\)

\(=\left(x-y^2\right)\left(x^2+xy^2+y^4\right)\)

Làm tạm 2 phần đợi mik xíu

4x² - 12xy + 9y² = ( 2x )² - 2.2x.3y + ( 3y )² = ( 2x - 3y )²

x³ - y⁶ = x³  - ( y² )³ = ( x - y² )( x² + xy² + y⁴ )

x⁶ - 6x⁴ + 12x² - 8 = ( x² )³ - 3.(x²)².2 + 3.x².2² - 2³ = ( x² - 2 )³

( x² + 4y² - 5 )² - 16( x²y² + 2xy + 1 ) = ( x² + 4y² - 5 )² - 4²( xy + 1 )²

                                                            = ( x² + 4y² - 5 )² - ( 4xy + 4 )²

                                                            = [ ( x² + 4y² - 5 ) - ( 4xy + 4 ) ][ ( x² + 4y² - 5 ) + ( 4xy + 4 ) ]

                                                            = ( x² + 4y² - 5 - 4xy - 4 )( x² + 4y² - 5 + 4xy + 4 )

                                                            = [ ( x² - 4xy + 4y² ) - 9 ][ ( x² + 4xy + 4y² ) - 1 ]

                                                            = [ ( x - 2y )² - 3² ][ ( x + 2y )² - 1² ]

                                                            = ( x - 2y - 3 )( x - 2y + 3 )( x + 2y - 1 )( x + 2y + 1 )

( a + b )³ - ( a³ + b³ ) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - a³ - b³

                                  = 3a²b + 3ab²

                                  = 3ab( a + b )

Phân tích ? -.-

100x² - ( x² + 25 )²

= ( 10x )² - ( x² + 25 )²

= [ 10x - ( x² + 25 ) ][ 10x + ( x² + 25 ) ]

= ( 10x - x² - 25 )( 10x + x² + 25 )

= -( x² - 10x + 25 )( x² + 10x + 25 )

= -( x² - 2.x.5 + 5² )( x² + 2.x.5 + 5² )

= -( x - 5 )²( x + 5 )²

\(\left(x^2+4\right)^2-16x^2\)

\(=\left(x^2+4\right)^2-\left(4x\right)^2\)

\(=\left(x^2+4-4x\right).\left(x^2+4+4x\right)\)

\(=\left(x-2\right)^2.\left(x+2\right)^2=\left(x^2-4\right)^2\)

16x mũ 2 trừ y mũ 2 mũ 2

Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được 

\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)

Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)

Cách trâu bò :

Ta có : 

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)

+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)

Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Bất đẳng thức được chứng minh 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

A = | x - 2012 | + | x - 2013 |

= | x - 2012 | + | -( x - 2013 ) |

= | x - 2012 | + | 2013 - x |

Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | ta có :

A = | x - 2012 | + | 2013 - x | ≥ | x - 2012 + 2013 - x | = | 1 | = 1

Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0

=> ( x - 2012 )( 2013 - x ) ≥ 0

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}x-2012\ge0\\2013-x\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge2012\\-x\ge-2013\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2012\\x\le2013\end{cases}}\Leftrightarrow2012\le x\le2013\)

2. \(\hept{\begin{cases}x-2012\le0\\2013-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le2012\\-x\le-2013\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le2012\\x\ge2013\end{cases}}\)( loại )

=> MinA = 1 <=> 2012 ≤ x ≤ 2013

Bg

Ta có: A = |x - 2012| + |x - 2013|   (x thuộc R)

Mà |x - 2012| > 0 và |x - 2013| > 0

Để A đạt GTNN thì |x - 2012| = 0 hoặc |x - 2013| = 0

=> x - 2012 = 0 hoặc x - 2013 = 0

=> x = 2012 hoặc x = 2013

Với x = 2012 hoặc x = 2013 thì A luôn = 1

Vậy x = 2012 hoặc x = 2013 thì A = 1

a, \(x^2-4x+3=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0\)

TH1 : x = 3 ; TH2 : x = 1

b, \(2x^2-3x-2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0\)

TH1 : x = 2 ; TH2 : x = -1/2 

c, Đặt \(x^2=t\left(t\ge0\right)\)

\(t^2+2t-8=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+4\right)=0\)

TH1 : t  = 2 ; TH2 : t = -4 

Tương tự ... 

1a) 

x² - 4x + 3 = x² - x - 3x + 3 

                  = x( x - 1 ) - 3( x - 1 )

                  = ( x - 1 )( x - 3 )

2c) 

2x² - 3x - 2 = 2x² + x - 4x - 2 

                   = x( 2x +1 ) - 2( 2x + 1 )

                   = ( 2x + 1 )( x - 2 ) 

3e)

x⁴ + 2x² - 8 (*)

Đặt t = x²

(*) <=> t² + 2t - 8

       = t² - 2t + 4t - 8 

       = t( t - 2 ) + 4( t - 2 )

       = ( t - 2 )( t + 4 )

       = ( x² - 2 )( x² + 4 )

4b) x² + 4x - 12 = x² - 2x + 6x - 12

                          = x( x - 2 ) + 6( x - 2 )

                          = ( x - 2 )( x + 6 )

d) 2x³ + x - 2x² - 1 = 2x²( x - 1 ) + 1( x - 1 )

                               = ( x - 1 )( 2x² + 1 )

f) x² - 2xy - 3y² = ( x² - 2xy + y² ) - 4y²

                         = ( x - y )² - ( 2y )²

                         = ( x - y - 2y )( x - y + 2y )

                         = ( x - 3y )( x + y )

Đề bài này phải là tìm nghiệm nguyên dương thôi, chứ nghiệm âm thì chắc chắn không được

a) Nhận xét:

Với x lẻ: \(19^x\equiv-1\left(mod.5\right)\)

Với x chẵn: \(19^x\equiv1\left(mod.5\right)\)

=> \(19^x\equiv\pm1\left(mod.5\right)\) với mọi x nguyên dương

\(2023\equiv3\left(mod.5\right)\)

Lại có: \(\hept{\begin{cases}5^y\equiv0\left(mod.5\right)\\1890\equiv0\left(mod.5\right)\\1945^{4^{20}}\equiv\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}19^x+5^y+1890\equiv\pm1\left(mod.5\right)\\1945^{4^{20}}+2023\equiv3\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

Mà VP = VT => vô lý

=> Phương trình vô nghiệm

Đợi xí làm nốt b

b) Áp dụng định lý Fermat dưới dạng tổng quát: \(a^n\equiv a\left(mod.n\right)\) thì ta có:

\(x^5\equiv x\left(mod.5\right)\) ; \(y^5\equiv y\left(mod.5\right)\) ; \(\left(x-3\right)^5\equiv x-3\left(mod.5\right)\)

và \(\left(y+2\right)^5\equiv y+2\left(mod.5\right)\)

Cộng vế lại ta được:

\(\hept{\begin{cases}x^5+y^5+2\equiv x+y+2\left(mod.5\right)\\\left(x-3\right)^5+\left(y+2\right)^5\equiv x+y-1\left(mod.5\right)\end{cases}}\)

Mà \(x^5+y^5+2=\left(x-3\right)^5+\left(y+2\right)^5\) => vô lý

Vậy PT vô nghiệm

Hình như đây là CĐ PT vô nghiệm

                                                           Bài giải

Ta dựng các tam giác đều AMP , AMN , ACE , ABD , suy ra N,P,E,D cố định.

Dễ dàng chứng minh được ΔAPE=ΔAMC(c.g.c) 

 ⇒ MC = PE, AM = MP

Suy ra : AM + MC + BM = BM + MP + PE ≥ BE ( hằng số )

Tương tự , ta cũng chứng minh được AM = MN, BM = DN

⇒ AM + MC + MB = CM + MN + DN ≥ CD ( hằng số )

Suy ra MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của BE và CD.

Cần chú ý : Vì điều kiện các góc của tam giác nhỏ hơn 180 độ : 

\(\widehat{BAC}+\widehat{CAE}\) < 120^o + 60^o = 180^o

\(\widehat{BAC}+\widehat{BAD}\) < 120^o + 60^o = 180^o

nên BE cắt AC tại một điểm nằm giữa A và C , CD cắt AB tại một điểm nằm giữa A và B. Do đó tồn tại giao điểm M của CD và BE.

Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)

Hay : \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)

Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1