\(\dfrac{2}{3}x=\dfrac{3}{4}y=\dfrac{4}{5}z\Rightarrow\dfrac{x}{18}=\dfrac{y}{16}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x+y+z}{18+16+15}=\dfrac{57}{49}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{57}{49}.18=\dfrac{1026}{49}\\y=\dfrac{57}{49}.16=\dfrac{912}{49}\\z=\dfrac{57}{49}.15=\dfrac{855}{49}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\widehat{A}=a;\widehat{B}=b;\widehat{C}=c\)

Số đo góc A bằng 6 lần số đo góc B bằng 3 lần số đo góc C

=>a=6b=3c

=>\(\dfrac{a}{6}=\dfrac{6b}{6}=\dfrac{3c}{6}\)

=>\(\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{2}\)

Xét ΔABC có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

=>\(a+b+c=180^0\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{6+1+2}=\dfrac{180}{9}=20\)

=>\(a=20\cdot6=120;b=1\cdot20=20;c=2\cdot20=40\)

Vậy: \(\widehat{A}=120^0;\widehat{B}=20^0;\widehat{C}=40^0\)

Lời giải:

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0$ (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Áp dụng TCDTSBN:

$\widehat{A}=6\widehat{B}=3\widehat{C}=\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{\frac{1}{6}}=\frac{\widehat{C}}{\frac{1}{3}}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{1+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{180^0}{\frac{3}{2}}=120^0$

$\Rightarrow \widehat{A}=120^0; \widehat{B}=120^0:6=20^0; \widehat{C}=120^0:3=40^0$

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=1\)

=>\(x=2\cdot1=2;y=3\cdot1=3\)

x+y=2+3=5

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AH chung

HB=HC

AB=AC

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

=>AH là phân giác của góc BAC

b: Ta có: \(\widehat{DHA}=\widehat{HAC}\)(hai góc so le trong, DH//AC)

\(\widehat{DAH}=\widehat{HAC}\)(Cmt)

Do đó: \(\widehat{DHA}=\widehat{DAH}\)

=>ΔDAH cân tại D

c: Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HD//AC

Do đó:D là trung điểm của AB

Trên tia đối của tia DC lấy K sao cho DK=DC

=>D là trung điểm của CK

Xét ΔDBK và ΔDAC có

DB=DA

\(\widehat{BDK}=\widehat{ADC}\)(hai góc đối đỉnh)

DK=DC

Do đó: ΔDBK=ΔDAC

=>BK=AC

Xét ΔCBK có BK+BC>CK

mà BK=AC và CK=2CD

nên AC+BC>2CD

=>\(CD< \dfrac{AC+BC}{2}\)

Lời giải:

b.

$x+y-2xy=4$

$\Rightarrow (x-2xy)+y-4=0$

$\Rightarrow x(1-2y)+y-4=0$

$\Rightarrow 2x(1-2y)+2y-8=0$

$\Rightarrow 2x(1-2y)-(1-2y)-7=0$

$\Rightarrow (2x-1)(1-2y)=7$

Do $x,y$ nguyên nên $2x-1,1-2y$ cũng là số nguyên. Mà $(2x-1)(1-2y)=7$ nên xét các TH sau:

TH1: $2x-1=1, 1-2y=7\Rightarrow x=1; y=-3$

TH2: $2x-1=-1, 1-2y=-7\Rightarrow x=0; y=4$

TH3: $2x-1=7, 1-2y=1\Rightarrow x=4; y=0$

TH4: $2x-1=-7, 1-2y=-1\Rightarrow x=-3; y=1$

c.

Nếu $x$ chẵn thì $x=2$. Khi đó: $19y^2=3x^2+1=3.2^2+1=13$ (vô lý) 

Nếu $x$ lẻ thì $19y^2=3x^2+1$ chẵn

$\Rightarrow y$ chẵn

$\Rightarrow y=2$

Khi đó: $3x^2+1=19y^2=19.2^2=76$

$\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=5$ (tm)

Vậy........

a: Sửa đề: ΔABH=ΔACK

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

\(\widehat{BAH}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

b: Xét ΔKBC vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

BC chung

\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔKBC=ΔHCB

c: Ta có: ΔKBC=ΔHCB

=>\(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\)

=>\(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)

=>ΔEBC cân tại E

d: Xét ΔAEB và ΔAEC có

AE chung

EB=EC

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔAEC

=>\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)

=>AE là phân giác của góc BAC

a: ΔABC vuông cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat{EMD}+\widehat{EAD}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADME là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MAD}=\widehat{MED};\widehat{MDE}=\widehat{MAE}\)

mà \(\widehat{MAD}=\widehat{MAE}=45^0\)

nên \(\widehat{MED}=\widehat{MDE}=45^0\)

=>MD=ME

b: Kẻ DF\(\perp\)AB(F\(\in\)BC)

mà AC\(\perp\)AB

nên DF//AC

DF//AC

=>\(\widehat{DFB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)

nên \(\widehat{DFB}=\widehat{FBD}\)

=>ΔDFB cân tại D

=>DF=DB

mà DB=CK

nên DF=CK

Xét tứ giác DFKC có

DF//CK

DF=CK

Do đó: DFKC là hình bình hành

=>DK cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của DK và FC

Lời giải:

$ac=b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$

$bd=c^2\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{c}{d}$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; b=ck; c=dk$
Khi đó:

$\frac{a}{d}=\frac{bk}{d}=\frac{ck^2}{d}=\frac{dk^3}{d}=k^3(1)$

Lại có:

$(\frac{2a+3b-c}{2b+3c-d})^3=(\frac{2bk+3b-c}{2ck+3c-d})^3=(\frac{2ck^2+3ck-c}{2dk^2+3dk-d})^3$
$=[\frac{c(2k^2+3k-1)}{d(2k^2+3k-1)}]^3=(\frac{c}{d})^3=(\frac{dk}{d})^3=k^3(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.

\(\sqrt{2022\cdot2024}=\sqrt{\left(2023-1\right)\left(2023+1\right)}\)

\(=\sqrt{2023^2-1}< \sqrt{2023^2}=2023\)

10x=15y=21z

=>\(\dfrac{10x}{210}=\dfrac{15y}{210}=\dfrac{21z}{210}\)

=>\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

mà 3x-7y+5z=30

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{3x-7y+5z}{3\cdot21-7\cdot14+5\cdot10}=\dfrac{30}{15}=2\)

=>\(x=2\cdot21=42;y=2\cdot14=28;z=2\cdot10=20\)

\(10x=15y=21z\Rightarrow\dfrac{10x}{210}=\dfrac{15y}{210}=\dfrac{21z}{210}\Rightarrow\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{21}=\dfrac{y}{14}=\dfrac{z}{10}=\dfrac{3x}{63}=\dfrac{7y}{98}=\dfrac{5z}{50}=\dfrac{3x-7y+5z}{63-98+50}=\dfrac{30}{15}=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=21.2=42\\y=14.2=28\\z=10.2=20\end{matrix}\right.\)