a) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}\left(dpcm\right)\)

b) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{b-a}{d-c}\Rightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\left(dpcm\right)\)

c) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{a-2b}{c-2d}\Rightarrow\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{c-2d}{d}\left(dpcm\right)\)

a) f(x) = 2x³ - x⁵ + 3x⁴ + x² - 1/2 x³ + 3x⁵ - 2x² - x⁴ + 1

= (-x⁵ + 3x⁵) + (3x⁴ - x⁴) + (2x³ - 1/2 x³) + (x² - 2x²) + 1

= 2x⁵ + 2x⁴ + 3/2 x³ - x² + 1

b) Bậc của f(x) là 5

c) f(1) = 2.1⁵ + 2.1⁴ + 3/2 . 1 - 1² + 1

= 2 + 2 + 3/2 - 1 + 1

= 11/2

f(-1) = 2.(-1)⁵ + 2.(-1)⁴ + 3/2 . (-1) - (-1)² + 1

= -2 + 2 - 3/2 - 1 + 1

= -3/2

\(\left(3x-4y\right)^4>=0\forall x,y\)

\(\left|3y-4z\right|^5>=0\forall y,z\)

\(\left|x^2+y^2+z^2-1\right|>=0\forall x,y,z\)

Do đó: \(\left(3x-4y\right)^4+\left|3y-4z\right|^5+\left|x^2+y^2+z^2-1\right|>=0\forall x,y,z\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=0\\3y-4z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\\\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}\\x^2+y^2+z^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{9}\\x^2+y^2+z^2=1\\\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{9}=k\)

=>\(x=16k;y=12k;z=9k\)

\(x^2+y^2+z^2=1\)

=>\(256k^2+144k^2+81k^2=1\)

=>\(481k^2=1\)

=>\(k^2=\dfrac{1}{481}\)

=>\(k=\pm\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

TH1: \(k=\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

=>\(x=16\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{16}{\sqrt{481}};y=12\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{12}{\sqrt{481}};z=9\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{9}{\sqrt{481}}\)

TH2: \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

=>\(x=-16\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-16}{\sqrt{481}};y=12\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-12}{\sqrt{481}};z=9\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-9}{\sqrt{481}}\)

\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3-9=\dfrac{23}{3}\)

=>\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{23}{3}+9=\dfrac{50}{3}\)

=>\(\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}:\dfrac{50}{3}=\dfrac{2}{50}=\dfrac{1}{25}\)

=>\(x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}\)

=>\(x=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt[3]{5}+5}{15}\)

a) Do K là trung điểm của BC (gt)

⇒ KB = KC

Xét ∆AKB và ∆AKC có:

AK là cạnh chung

AB = AC (gt)

KB = KC (cmt)

⇒ ∆AKB = ∆AKC (c-c-c)

⇒ ∠AKB = ∠AKC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AKB + ∠AKC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AKB = ∠AKC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AK ⊥ BC

b) Do ∆ABC vuông tại A (gt)

AB = AC (gt)

⇒ ∆ABC vuông cân tại A

⇒ ∠ABC + ∠ACB = 90⁰

⇒ ∠ABC = ∠ACB = 90⁰ : 2 = 45⁰

⇒ ∠ACE = 90⁰ - ∠ACB

= 90⁰ - 45⁰

= 45⁰

⇒ ∠ACE = ∠ACB = 45⁰

⇒ CA là tia phân giác của ∠BCE

⇒ CA là đường phân giác của ∆BCE

Lại có CA ⊥ AB (∆ABC vuông tại A)

⇒ CA ⊥ BE

⇒ CA là đường cao của ∆BCE

∆BCE có:

CA là đường cao của ∆BCE

CA là đường phân giác của ∆BCE

⇒ ∆BCE cân tại C

⇒ CE = CB

c) ∆AKB vuông tại K

⇒ ∠KAC + ∠ACK = 90⁰

⇒ ∠KAC = 90⁰ - ∠ACK

= 90⁰ - ∠ACB

= 90⁰ - 45⁰

= 45⁰

⇒ ∠KAC = ∠ACK = 45⁰

⇒ ∆AKC cân tại K

⇒ AK = KC

Mà KC < BC (do K là trung điểm của BC)

⇒ AK < BC

Mà BC = EC (cmt)

⇒ AK < EC

Lời giải:

Vì $y^2\geq 0$ với mọi $y$ nên $14(x-2023)^2=26-3y^2\leq 26$

$\Rightarrow (x-2023)^2\leq \frac{26}{14}< 2$
Mà $(x-2023)^2$ là scp nên $(x-2023)^2=0$ hoặc $(x-2023)^2=1$

Nếu $(x-2023)^2=0$ thì: $26-3y^2=0\Rightarrow y^2=\frac{26}{3}$ (vô lý - loại)

Nếu $(x-2023)^2=1$ thì:

$x-2023=\pm 1\Rightarrow x=2022$ hoặc $x=2024$

$26-3y^2=14\Rightarrow 3y^2=12\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=\pm 2$

Vậy $(x,y)=(2022, 2), (2022, -2), (2024,2), (2024,-2)$

Lời giải:

Độ dài đường chéo HCN: $\sqrt{7^2+8^2}=10,6$ (cm)