a) Ta có: ΔABC đều(gt)

⇒AB=AC=BC

mà AD=DB=AB/2 (Dlà trung điểm của AB)

và AE=EC=AC/2 (Elà trung điểm của AC)

và BF=FC=BC/2(F là trung điểm của BC)

nên AD=DB=AE=EC=BF=FC(1)

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB(gt)

E là trung điểm của AC(gt)

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DE//BC và DE=BC/2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà BF=FC=BC/2(F là trung điểm của BC)

nên DE=BF=FC(2)

Xét tứ giác BDEF có DE//BF(DE//BC, F∈BC) và DE=BF(cmt)

nên BDEF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành BDEF có BD=BF(cmt)

nên BDEF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

b) Ta có: DE=EM(gt)

mà D,E,M thẳng hàng

nên E là trung điểm của DM

Xét tứ giác AMCD có

E là trung điểm của đường chéo AC(gt)

E là trung điểm của đường chéo DM(cmt)

Do đó: AMCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Từ (1) và (2) suy ra AD=DB=BF=FC=CE=AE=DE

hay DE=AE

mà DM=2*DE(E là trung điểm của DM)

và AC=2*AE(E là trung điểm của AC)

nên DM=AC

Xét hình bình hành AMCE có DM=AC(cmt)

nên AMCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

\(P=\frac{4x-2014}{3x+y}-\frac{4y+2014}{3y+x}\)

\(=\frac{4x-x+y}{3x+y}-\frac{4y+x-y}{3y+x}\)

\(=\frac{3x+y}{3x+y}-\frac{3y+x}{3y+x}\)

\(=1-1=0\)

dqfaq

jgfhgjhfjd

gio

`Answer:`

a. Theo giả thiết: EI//AF

`=>\hat{EIB}=\hat{ACB}=\hat{ABC}=\hat{EBI}` (Do `\triangleABC` cân ở `A`)

`=>\triangleEBI` cân ở `E`

`=>EB=EI`

b. Theo giải thiết: BE=CF=>EI=CF`

Xét `\triangleOEI` và `\triangleOCF:`

`EI=CF`

`\hat{OEI}=\hat{OFC}` 

`\hat{OIE}=\hat{OCF}`

`=>\triangleOEI=\triangleOFC(g.c.g)`

`=>OE=OF`

c. Ta có: `KB⊥AB` và `KC⊥AC`

`=>KB^2=KA^2-AB^2=KA^2-AC^2=KC^2`

`=>KB=KC`

Mà `BE=CF`

`=>KE^2=KB^2+BE^2=KC^2+CF^2=KF^2`

`=>KE=KF`

`=>\triangleEKF` cân ở `K`

Mà theo phần b. `OE=OF=>O` là trung điểm `EF`

`=>OK⊥EF`