\(a+b+c=0\)

\(a^3+b^3+c^3=3.\overline{abc}\)

_______________________

Ta xét vế trái \(a^3+b^3+c^3=\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\right]+c^3\)\(\left(1\right)\)
Mà  theo giả thiết ta có : \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow c=a+b\Rightarrow c^3=-\left(a+b\right)^3\)
Thay vào \(\left(1\right)\)Ta có :\(\text{ [(a+b)(a^2-ab+b^2)] - (a+b)^3}\)
                                      \(\text{=(a+b)[a^2-ab+b^2-(a+b)^2] }\)( lấy nhân tử chung)
\(\text{ =(a+b)^2) =(a+b)[a^2-ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)] }\)( phân tích )
\(\text{=(a+b)(a^2-ab+b^2-a^2-2ab-b^2) }\)
\(\text{=(a+b).(-3ab) }\)
\(\text{= -(a+b).3ab (2) }\)
Theo giả thiết ta có :\(\text{ a+b+c=0 \Rightarrow c= -(a+b) }\)
Thay vào \(\left(2\right)\)ta được \(=3abc\)(đpcm)

 

Sau a^3 là dấu "+" đúng ko ?

Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow c=-a-b\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3\)

\(=-3a^2b-3ab^2=3ab\left(-a-b\right)\)

Lại có: \(-a-b=c\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(đpcm).

Ta có:\(x+y=a+b\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow2xy=2ab\Leftrightarrow xy=ab\) (vì x²+y²=a²+b²)

Lại có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right);a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Mà x+y=a+b,x²+y²=a²+b²;xy=ab

Do đó \(x^3+y^3=a^3+b^3\) (đpcm)

\(\frac{2}{x}-\left(\frac{x^2}{x^2+xy}-\frac{x^2-y^2}{xy}-\frac{y^2}{xy+y^2}\right)\)\(\left(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\right)\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x,y\ne0\\x\ne-y\end{cases}}\)

\(A=\frac{2}{x}-\frac{x^2y-\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2-xy^2}{xy\left(x+y\right)}.\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\)

\(A=\frac{2}{x}+\frac{x^3-y^3}{xy\left(x+y\right)}.\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\)

\(A=\frac{2}{x}+\frac{x-y}{xy}\)

\(A=\frac{2y+x-y}{xy}\)

\(A=\frac{x+y}{xy}\)