\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{c^2+b^2}=b-\frac{c}{2}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}=c-\frac{a}{2}\)

Cộng theo vế: => \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

+) cm: \(\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)

\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2}\)

\(\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)

Cộng theo vế: 

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

Theo BĐT AM - GM, ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\)\(=\frac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

, - Hình thoi có 2 đừờng chéo vuông góc với nhau nên góc BOC = 90 độ (1)
- BI // AC và CI // Bo ==> OBIC là Hình bình hành(2)
từ 1 và 2 suy ra OBIC là Hình chữ nhật
b,
- ABCD là hình thoi nên AB=BC=CD=DA (3)
- OBIC là HCN nên 2 dg chéo OI=BC (4)
từ 3 và 4 suy ra AB=OI
c,
đieu kiên bài cho <=> OB=OC <=> ABCD là hình vuông.

b) A = 2010 . 2012

        = ( 2011 - 1 )( 2011 + 1 )

        = 2011² - 1² = 2011² - 1

2011² - 1 < 2011² => A < B 

Bài này cho thêm điều kiện a, b, c dương

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(E=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\)\(\frac{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}}{2}\ge\frac{3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{6}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng HĐT thôi bạn =)

a) ( a + b )² + ( a - b )² - 6a²b

= a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b² - 6a²b

= 2a² + 2b² - 6a²b

= 2( a² + b² - 3a²b ) 

b) ( a + 3 )³ - ( a - b )³ - 6a²b

=( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) - ( a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ) - 6a²b

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - a³ + 3a²b - 3ab² + b³ - 6a²b

= 2b³

bạn ghi nhầm rồi nha b chứ 3 đau

Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)}{2}=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

<=> \(a+b\le1\)

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)}{2}+2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}+2}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{22}{5}\)

Dấu = xảy ra <=> a = b = 1/2 

mình chưa hiểu tại sao a+b<=1

như này

bạn Phạm Thị Mai Anh ơi, như này là như nào bạn ?