Ta có: xy = ab <=> \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\)(a; y \(\ne\)0)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}=k\) => \(\hept{\begin{cases}x=ak\\b=yk\end{cases}}\)(*)

Khi đó: x + y = a + b <=> ak + y = a + yk

<=> ak - a + y - yk = 0

<=> a(k - 1) - y(k - 1) = 0

<=> (a - y)(k - 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=y\\k=1\end{cases}}\)

Với a = y => b = x

<=> aⁿ = yⁿ  (1) và bⁿ = xⁿ (2) (x \(\in\)N)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế : aⁿ + bⁿ = yⁿ + xⁿ

Với k = 1 thay vào (*) => \(\hept{\begin{cases}x=a\\b=y\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x^n=a^n\\y^n=b^n\end{cases}}\) => xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ

=> đpcm

Áp dụng BĐT svacsơ: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac - xơ ta có : 

\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\)(đpcm)

Cậu chỉ cần đổi đề bài thành tìm a,b sao cho A là số nguyên là được.

Link chứng minh điều đó ở đây 

https://diendantoanhoc.net/topic/71455-cho-ab-nguyen-d%C6%B0%C6%A1ng-ch%E1%BB%A9ng-minh-afraca2b2ab1-la-s%E1%BB%91-chinh-ph%C6%B0%C6%A1ng-n%E1%BA%BFu-a-nguyen/

Gắt vậy :) IMO 1988 :) vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh 

Bài làm:

a) \(A=\left(x^2-x\right)\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(=\left[x\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]=\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)\)

Đặt \(x^2+x-1=t\)\(\Rightarrow A=\left(t-1\right)\left(t+1\right)=t^2-1\ge-1\left(\forall t\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(t^2=0\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=0\\x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}}\)

b) Ta có: \(B=x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2=\left[x^4+2x^2\left(x-2\right)^2+\left(x-2\right)^4\right]+4x^2\left(x-2\right)^2\)

\(=\left[x^2+\left(x-2\right)^2\right]^2+\left[2x\left(x-2\right)\right]^2\ge2\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)

Phần b hơi sai sai nên bn xem phần a thôi nhé

Sửa lại câu b 

\(B=x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2\)

\(=x^4+x^4-8x^3+24x^2-32x+16+6x^4-24x^3+24x^2\)

\(=8x^4-32x^3+48x^2-32x+16\)

\(=8\left(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\right)+8\)

\(=8\left(x-1\right)^4+8\ge8\)

=> min B = 8 tại x = 1

Bài 1.

Đáp án:

 4N

Giải thích các bước giải:

 Đổi 4200g=4,2 kg

     D=10,5g/cm³=10500kg/m³

Thể tích của vật: V=m/D=4,2/10500=4.10^-4 m³

Lực đẩy acsimet tác dụng lên vật:

FA=dn.V=10000.4.10−4=4NFA=dn.V=10000.4.10−4=4N

Bài 2.Khi vật chìm trong nước, lực kế chỉ 3,6N nên trọng lượng biểu kiến của vật là 3,6 N 
Lực đẩy Ác-si-mét của nước tác dụng lên vật là: Fa = 4,8 - 3,6 = 1,2 N 
Do Fa = Vchiếm chỗ . dn => Thể tích vật là: V = Fa/d = 1,2 : 10^4 = 1,2 . 10^-4 m³ = 120 cm3

Bài 3.

Đáp án:

v1=4m/sv2=2m/sv=3m/sv1=4m/sv2=2m/sv=3m/s

Giải thích các bước giải:

 vận tốc trung bình khi xuống dốc:v1=10025=4m/sv1=10025=4m/s

vận tốc trung bình khi hết dốc: v2=5025=2m/sv2=5025=2m/s

vận tốc trung bình cả đoạn đường:

v=100+5025+25=3m/s

Bài 4.

Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên quả cầu nhúng chìm trong nước lớn hơn.

Vì: Độ lớn của lực đẩy Ác-si-mét phụ thuộc vào thể tích phần chất lỏng bị vật chiếm chỗ và trọng lượng riêng của chất lỏng, mà 2 quả cầu có thể tích bằng nhau và dnước>ddầudnước>ddầu nên Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên quả cầu nhúng chìm trong nước lớn hơn.

Bài 5.

Ta có: P = 10m → P = 10.0,5 = 5 (N)

a) Công của trọng lực tác dụng lên quả cầu:

A = F.s = P.s = 5.2 = 10 (J) (1,0 điểm)

b) Do quả cầu bị chìm 1/2 trong nước nên ta có:

FAFA = P ⇒ FAFA = 5 (1,0 điểm)

                                                       Bài làm :

Câu 1 :

Thể tích của vật là :

\(V=\frac{m}{D}=\frac{4200}{10,5}=400\left(cm^3\right)\)

Đổi : 400 cm³ = 0,0004 m³.

Vậy lực đẩy Ac-si-met tác dụng lên vật là :

\(F_A=d.V=10000.0,0004=4\left(N\right)\)

Câu 2 :

a)Lực đẩy Ac-si-met tác dụng lên vật là :

\(F_A=P-F=4,8-3,6=1,2\left(N\right)\)

b)Thể tích của vật là :

\(V=\frac{F_A}{d}=\frac{1,2}{10000}=0,00012\left(m^3\right)\)

Câu 3 :

a) Vận tốc trung bình trên đoạn đoạn đường đầu là:

\(V_{TB1}=\frac{S_1}{t_1}=\frac{100}{25}=4\left(m\text{/}s\right)\)

 Vận tốc trung bình trên đoạn đoạn đường thứ 2 là:

\(V_{TB2}=\frac{S_2}{t_2}=\frac{50}{25}=2\left(m\text{/}s\right)\)

b)Vận tốc trung bình của người đi xe đạp trên cả quãng đường là :

\(V_{TB}=\frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}=\frac{100+50}{25+25}=3\left(m\text{/}s\right)\)

Câu 4 :

Lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên quả cầu nhúng chìm trong nước lớn hơn vì: Độ lớn của lực đẩy Ác-si-mét phụ thuộc vào thể tích phần chất lỏng bị vật chiếm chỗ và trọng lượng riêng của chất lỏng, mà 2 quả cầu có thể tích bằng nhau và d_nước > d_dầu nên lực đẩy Ác-si-mét tác dụng lên quả cầu nhúng chìm trong nước lớn hơn.

Câu 5 :

Trọng lượng của vật là :

P = 10m =10 . 0,5 =5 (N)

a)Công của trọng lực tác dụng lên quả cầu là :

A = F.s = P.s  = 5 . 2 = 10 (J).

b)Vì 1/2 thể tích vật chìm trong nước nên :

\(P=F_A=5\left(N\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ta có: a³ - b³ = 3ab  + 1

<=> a³ - b³ - 3ab - 1 = 0

<=> (a - b)(a² + ab + b²) - 3ab - 1 = 0

<=> (a - b)³ + 3ab(a - b) - 3ab - 1 = 0

<=> (a - b - 1)(a² - 2ab + b² + a - b + 1) + 3ab(a - b - 1) = 0

<=> (a - b - 1)(a² - 2ab + b² + a - b+ 1 + 3ab) = 0

<=> (a - b - 1)(a² + b² + ab + a - b + 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a-b-1=0\left(1\right)\\a^2+b^2+ab+a-b+1=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải: (1) a - b - 1 = 0 <=> a = 1 + b

Khi đó: a + b = 1 + b + b = 1 + 2b

Giải (2) a² + b² + ab + a - b + 1 = 0

<=> 2a² + 2b² + 2ab + 2a - 2b + 2 = 0

<=> (a² + 2ab + b²) + (a²  + 2a + 1) + (b² - 2b + 1) = 0

<=> (a + b)² + (a + 1)² + (b - 1)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a+b=0\\a+1=0\\b-1=0\end{cases}}\) <=> a = -1 và b = 1

=> a + b = 0

a,Ta có:a+b=1
<=>(a+b)^3=1^3
<=>a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3=1
<=>a^3+b^3+3ab(a+b)=1
mà a+b=1=>a^3+b^3+3ab=1=>a^3+b^3=1-3ab(dpcm)

b,Ta có a-b=1
<=>(a-b)^3=1^3
<=>a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=1
<=>a^3-b^3-ab(a-b)=1
mà a-b=1=>a^3-b^3-3ab=1
=>a^3-b^3=1+3ab

Lời giải:

1. Biến đổi vế trái của phương trình

   

2. Biến đổi vế phải của phương trình

   

3. Phương trình thu được sau khi biến đổi

   

4. Rút gọn thừa số chung

   

5. Đơn giản biểu thức

   

6. Lời giải thu được

   

dvbnm,.m,nbfd

A = (x² - 3x + 1)(24 + 3x - x²)

A = -(x² - 3x + 1)(x² - 3x -24)

A = -[(x² - 3x + 1)² - 25(x² - 3x + 1)]

A = -[(x² - 3x + 1)² - 25(x² - 3x + 1) + 156,25 - 156,25]

A = -(x² - 3x + 1 - 12,5)² + 156,25 

A = -(x² - 3x - 11,5)² + 156,25 \(\le\)156,25 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x² - 3x - 11,5 = 0

<=> (x² - 3x + 2,25) = 3,75

<=> (x - 1,5)² = 3,75

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{15}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}\end{cases}}\)

Vậy MaxA = 156,25 khi \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{15}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}\end{cases}}\)

thanks

Em dùng cách vẽ trung điểm của CD rồi ạ

a) Xét t/g ABD và t/g AED có:

AB = AE (gt)

BAD = EAD (gt)

AD là cạnh chung

Do đó, t/g ABD = t/g AED (c.g.c) (đpcm)

b) t/g ABD = t/g AED (câu a)

=> BD = ED (2 cạnh tương ứng)

ABD = AED (2 góc tương ứng)

Có: ABD + DBF = 180o( kề bù)

AED + DEC = 180o ( kề bù)

Nên DBF = DEC

Có: AF = AC (gt)

AB = AE (gt)

=> AF - AB = AC - AE

=> BF = CE

Xét t/g BDF và t/g EDC có:

BF = EC (cmt)

DBF = DEC (cmt)

BD = ED (cmt)

Do đó, t/g BDF = t/g EDC (c.g.c) (đpcm)

c) Gọi K là giao điểm của FC và DA ( kéo dài)

Dễ thấy, t/g AKF = t/g AKC (c.g.c)

=> AKF = AKC (2 góc tương ứng)

Mà AKF + AKC = 180o ( kề bù)

=> AKF = AKC = 90o

=> AK _|_ CF hay AD _|_ CF (đpcm)

a^2+4b=b^2+4a

=> (a-b)(a+b)-4(a+b)=0

=>(a-b-4)(a+b)=0

Đến đây đơn giản mà ^^ em ko làm được thì ib nhé.

Bài làm:

Ta có: \(a^2+4b=b^2+4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)-\left(4a-4b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-4\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\a+b-4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}a=0\\a+b=4\end{cases}}\)

+ Nếu \(a=0\Rightarrow4b=7\Leftrightarrow b=\frac{7}{4}\)

Thay vào tính được:

a) \(S=a+b=0+\frac{7}{4}=\frac{7}{4}\)

b) \(Q=a^3+b^3=0^3+\left(\frac{7}{4}\right)^3=\frac{343}{64}\)

+ Nếu \(a+b=4\Rightarrow b=4-a\)

Thay vào tính được:

a) \(S=a+b=4\)

b) \(b=4-a\Leftrightarrow a^2+4\left(4-a\right)=7\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+5=0\)

\(\Rightarrow∄a\)