Do \(a+b+c=1\)  nên :

\(VT=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b\left(a+b+c\right)+ac}}\)

\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)

\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}\right)\)

\(\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}\right)\)

Cộng theo vế :
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta có: 

\(AB+BC=AC\sqrt{3}\)

=> \(\frac{AC}{BC}\sqrt{3}-\frac{AB}{BC}=1\)

=> \(\sqrt{3}\cos\widehat{C}-\sin\widehat{C}=1\)

=> \(\sqrt{3}\cos\widehat{C}-1=\sin\widehat{C}\)

Mặt khác: \(\sin^2\widehat{C}+\cos^2\widehat{C}=1\)

<=> \(\left(\sqrt{3}\cos\widehat{C}-1\right)^2+\cos^2\widehat{C}=1\)

<=> \(4\cos^2\widehat{C}-2\sqrt{3}\cos\widehat{C}=0\)( \(0^o< \widehat{C}< 90^o\))

<=> \(2\cos\widehat{C}-\sqrt{3}=0\)

<=> \(\cos\widehat{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

<=> \(\widehat{C}=30^o\)=> \(\widehat{B}=60^o\)

em cảm ơn cô nhiều lắm ạ <3

Đặt: \(\sqrt{x}=t\)( \(t\ge0;t\ne1\)) => \(A\ne0\)

Ta có: \(A=\frac{t-1}{t^2+t+1}\)

<=> \(At^2+At+A=t-1\)

<=> \(At^2+\left(A-1\right)t+\left(A+1\right)=0\) (1)

(1) có nghiệm <=> \(\Delta\ge0\)<=> \(-3A^2-6A+1\ge0\)<=> \(-1-\frac{2}{\sqrt{3}}\le A\le-1+\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Theo đề ra A thuộc Z ; A khác 0

=> A \(\in\){ - 2; -1 }

+) Với A = - 2  thế vào (1) ta có: \(-2t^2-3t-1=0\) <=> \(\orbr{\begin{cases}t=-1\left(loai\right)\\t=-\frac{1}{2}\left(loai\right)\end{cases}}\)

+) Với A = -1 thế vào (1) ta có: \(-t^2-2t=0\)<=> \(\orbr{\begin{cases}t=0\left(tm\right)\\t=-2\left(loai\right)\end{cases}}\)

Với t = 0 ta có: \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)

Vậy x = 0 ; A = -1

E cảm ơn  cô

pt <=> \(4x^4+4x^2+4=4y^2\)

<=> \(4x^2+4x+1+3=4y^2\)

<=> \(\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=3\)

<=> \(\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=3=3.1=-1.-3=1.3=-3.-1\)

Em tự làm tiếp nhé!

\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)

Có: \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2>0\\2a-b^2>0\\a;b>0\end{cases}\Leftrightarrow a>b>0.}\)

 \(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)(1)

<=> \(\sqrt{2ab-b^2}>a-\sqrt{a^2-b^2}\)

<=> \(2ab-b^2>a^2-2a\sqrt{a^2-b^2}+a^2-b^2\)

<=> \(b>a-\sqrt{a^2-b^2}\)

<=> \(a-b-\sqrt{a^2-b^2}< 0\)

<=> \(\sqrt{a-b}\left(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}\right)< 0\)đúng vì \(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}< 0\)

=>  (1) đúng.

Chia hai vế cho a, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

\(\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}+\sqrt{2\left(\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{a}\right)^2}>1\)

Đặt \(\frac{b}{a}=x\Rightarrow0< x< 1\). Ta cần chứng minh:

\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x-x^2}>1\)

\(\Leftrightarrow2x-2x^2+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(2x-x^2\right)}>0\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow2x\left(1-x\right)+2\sqrt{x\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(2-x\right)}>0\) (đúng)

Ta có đpcm.