\(50+\dfrac{50}{3}+\dfrac{25}{3}+\dfrac{20}{4}+...+\dfrac{100}{98\cdot99}+\dfrac{1}{99}\)

\(=\dfrac{100}{2}+\dfrac{100}{6}+\dfrac{100}{12}+...+\dfrac{100}{98\cdot99}+\dfrac{100}{99\cdot100}\)

\(=100\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=100\cdot\dfrac{99}{100}=99\)

\(\dfrac{1}{2\times4\times6}+\dfrac{1}{4\times6\times8}+...+\dfrac{1}{96\times98\times100}\\ =\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{1\times2\times3}+\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{2\times3\times4}+...+\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{48\times49\times50}\\ =\dfrac{1}{8}\times\left(\dfrac{1}{1\times2\times3}+\dfrac{1}{2\times3\times4}+...+\dfrac{1}{48\times49\times50}\right)\)

Đặt \(A=\dfrac{1}{1\times2\times3}+\dfrac{1}{2\times3\times4}+...+\dfrac{1}{48\times49\times50}\)
\(2A=\dfrac{2}{1\times2\times3}+\dfrac{2}{2\times3\times4}+...+\dfrac{2}{48\times49\times50}\\ 2A=\dfrac{1}{1\times2}-\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{2\times3}-\dfrac{1}{3\times4}+...+\dfrac{1}{48\times49}-\dfrac{1}{49\times50}\\ 2A=\dfrac{1}{1\times2}-\dfrac{1}{49\times50}\\ 2A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2450}\\ 2A=\dfrac{612}{1225}\\ A=\dfrac{306}{1225}\)
Thay vào biểu thức ban đầu được:
\(\dfrac{1}{2\times4\times6}+\dfrac{1}{4\times6\times8}+...+\dfrac{1}{96\times98\times100}\\ =\dfrac{1}{8}\times\dfrac{306}{1225}\\ =\dfrac{153}{4900}\)

`S = 1.4+2.5 + 3.6 +...+ 100.103`

`S = 1 . (2+2) + 2 (3+2) + 3 . (4+2) + ... + 100 . (101 + 2) `

`S = 1.2 + 2 . 1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + ... + 100 . 101 + 2. 100`

`S = 1.2 + 2.3+ 3.4 +... + 100.101 + 2.1 + 2.2 + 2.3 + ... + 2.100`

`S =  1.2 + 2.3+ 3.4 +... + 100.101 + 2(1+2+3+...+100) `

`S =  1.2 + 2.3+ 3.4 +... + 100.101 + 2 (100+1) . [(100-1):1+1] : 2`

`S =  1.2 + 2.3+ 3.4 +... + 100.101 + 10100`

Đặt `A = 1.2 + 2.3+ 3.4 +... + 100.101`

`3A = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + .... + 100 . 101. (102 - 99)`

`3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+100.101.102 -99.100.101`

`3A = 100.101.102`

`A = 343400`

`S = A + 10100`

`= 343400 + 10100`

`= 353500`

5 số =1,9,2,8,0

=(1+9).(2+8)+0

.=nhân

Xét ΔMIB có

MD là đường cao

MD là đường trung tuyến

Do đó: ΔMIB cân tại M

=>MI=MB

Xét ΔMKC có

ME là đường cao

ME là đường trung tuyến

Do đó: ΔMKC cân tại M

=>MK=MC

Ta có: MI=MK=MB=MC

=>I,K,B,C cùng thuộc đường tròn (M)

\(\left|x^2-2x\right|=2x-x^2\\ =>\left|x^2-2x\right|=-\left(x^2-2x\right)\\ =>x^2-2x\le0\\ =>x\left(x-2\right)\le0\\ =>0\le x\le2\)

Gọi O là trung điểm của BD

Xét ΔABD có AB=AD và \(\widehat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

Xét ΔCBD có CB=CD và \(\widehat{BCD}=60^0\)

nên ΔBCD đều

ta có: ΔABD đều

mà DE là đường trung tuyến

nên DE\(\perp\)AB

=>ΔDEB vuông tại E

=>E nằm trên đường tròn đường kính BD(1)

Ta có: ΔABD đều

mà BH là đường trung tuyến

nên BH\(\perp\)AD tại H

=>ΔBHD vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính BD(2)

Ta có: ΔCBD đều

mà DF là đường trung tuyến

nên DF\(\perp\)BC tại F

=>F nằm trên đường tròn đường kính BD(3)

Ta có: ΔCBD đều

mà BG là đường trung tuyến

nên BG\(\perp\)CD tại G

=>G nằm trên đường tròn đường kính BD(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra E,H,D,G,F,B cùng thuộc một đường tròn

\(S=\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}+...+\dfrac{1}{60}\) (có 30 số hạng)
\(\Rightarrow S=\left(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{40}\right)+\left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}\right)+\left(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}\right)\)(có 10 số hạng mỗi nhóm)

Ta có:

+) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{40}>\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{40}+...+\dfrac{1}{40}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}>\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{50}+...+\dfrac{1}{50}=\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}>\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{60}+...+\dfrac{1}{60}=\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=\left(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{40}\right)+\left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}\right)+\left(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}\right)< \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{37}{60}\)
Mà \(\dfrac{37}{60}>\dfrac{36}{60}=\dfrac{3}{5}\) nên:
\(S>\dfrac{3}{5}\) (1)

+) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{40}< \dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{30}+...+\dfrac{1}{30}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}< \dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{40}+...+\dfrac{1}{40}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}< \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{50}+...+\dfrac{1}{50}=\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=\left(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+...+\dfrac{1}{40}\right)+\left(\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}\right)+\left(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}\right)< \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{47}{60}\)
Mà \(\dfrac{47}{60}< \dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}\) nên:
\(S< \dfrac{4}{5}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{3}{5}< S< \dfrac{4}{5}\)

Vậy...