Em gửi ảnh ạ !

Em gửi ảnh trên ạ !!!!!

\(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{5}{4ab}\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{5}{4ab}\)

( Nếu đi thi thì sẽ phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này nhân chéo và cô si là xong )

Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow M\ge\frac{4}{1}+2+5=11\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2 

Vậy ...

a) Khi m = 2 thì: \(\hept{\begin{cases}y=x^2\\y=2x+3\end{cases}}\)

Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm của PT: \(x^2=2x+3\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\Rightarrow y=1\\x=3\Rightarrow y=9\end{cases}}\)

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là \(\left(-1;1\right)\) và \(\left(3;9\right)\)

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của PT:

\(x^2=mx+3\Leftrightarrow x^2-mx-3=0\)

Vì \(ac=1\cdot\left(-3\right)< 0\) => PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-3\end{cases}}\)

Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{-m}{3}=\frac{3}{2}\Rightarrow m=-\frac{9}{2}\)

Vậy \(m=-\frac{9}{2}\)

đk: \(y\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}2\left(x+2\right)-\sqrt{y-1}=6\\5\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=12\\5\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=4\\2\left(x+2\right)-\sqrt{y-1}=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\\sqrt{y-1}=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y-1=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

Bán kính đường tròn đó là:
\(R=\frac{d}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6\left(m\right)\)

Diện tích mặt bàn đó là:

\(S=R^2\pi=0,6^2\cdot\pi\approx1,13\left(m^2\right)\)

gọi AB,BC thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hcn

diện tích hcn là:AB.BC

vì sau khi tăng chiều dài 5m, chiều rộng 3m thì S tăng thêm 255 m² nên ta có phương trình

(AB+5).(BC+3)-AB.BC=255

<=>AB.BC+3.AB+5.BC+15-AB.BC=255

<=>3.AB+5.BC=240(1)

mà AB+BC=62=>3.AB+3.BC=186(2)

trừ cả 2 vế của (1) và (2) ta được

3.AB+5.BC-3.AB-3.BC=240-186

<=>2.BC=54<=>BC=27(m)

=>AB=35(m)

Vậy AB=35m,BC=27m

1) Khi x = 49 thì:

\(A=\frac{4\sqrt{49}}{\sqrt{49}-1}=\frac{4\cdot7}{7-1}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}\)

2) Ta có:

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x-1}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}-1+x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(B=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

c) \(P=A\div B=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\div\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(P\left(\sqrt{x}+1\right)=x+4+\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}=x+4+\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=x+4+\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2+\sqrt{x-4}=0\)

Mà \(VT\ge0\left(\forall x\ge0,x\ne1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-2\right)^2=0\\\sqrt{x-4}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=2\\x-4=0\end{cases}}\Rightarrow x=4\)

Vậy x = 4

ĐKXĐ: x \(\ge\)1/2

Đặt: \(x+3=a\left(a>0\right)\)

  \(\sqrt{2x-1}=b\) (b \(\ge\)0)

=> 3a + b² = 3x + 9 + 2x - 1 = 5x + 8 => 5x - 1 = b² + 3a - 9 

Do đó, ta có: b² + 3a - ab  - 9 = 0

<=> (b - 3)(b + 3) - a(b - 3) = 0

<=> (b - 3)(b - a + 3) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}b=3\\b-a+3=0\end{cases}}\)

Với b = 3=> \(\sqrt{2x-1}=3\)=> 2x - 1 = 9 => x = 5 (tm)

với b - a + 3 = 0 => \(\sqrt{2x-1}-x-3+3=0\)

<=> \(\sqrt{2x-1}=x\) (x \(\ge\)1/2)

<=> 2x - 1 = x²  <=> (x - 1)² = 0 <=> x = 1 (tm)

Vậy S = {1; 5}

hmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm..................

Ta có: \(\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-\sqrt{a^2+9}\right)\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{-9\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)

\(\Rightarrow b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a\)

Tương tự chỉ ra được: \(a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b\)

Cộng vế 2 PT trên lại ta được:

\(a+b+\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}-a-b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow a=-b\)

Thay vào M ta được:

\(M=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026\)

\(M=a^4+2a^2-8a+2026\)

\(M=\left(a^4+2a^2-8a+5\right)+2021\)

\(M=\left[\left(a^4-a^3\right)+\left(a^3-a^2\right)+\left(3a^2-3a\right)-\left(5a-5\right)\right]+2021\)

\(M=\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+3a-5\right)+2021\)

\(M=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+5\right)+2021\)\(\ge0+2021=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = 1 => b = -1

Vậy Min(M) = 2021 khi a = 1 và b = -1