Lời giải:

Xét modun $3$ của $n$ thì ta dễ dàng thấy $n^2+n+2$ không chia hết cho $3$ với mọi $n$. Do đó $n^2+n+2$ nếu thỏa mãn đề thì chỉ có thể là tích 2 số tự nhiên liên tiếp (nếu từ 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ chia hết cho 3) 

Đặt $n^2+n+2=a(a+1)$ với $a\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+8=4a^2+4a$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+8=(2a+1)^2$
$\Leftrightarrow 8=(2a+1)^2-(2n+1)^2=(2a-2n)(2a+2n+2)$

$\Leftrightarrow 2=(a-n)(a+n+1)$

Hiển nhiên $a+n+1> a-n$ và $a+n+1>0$ với mọi $a,n\in\mathbb{N}$ nên:

$a+n+1=2; a-n=1$

$\Rightarrow n=0$ (tm)

Yêu cầu của đề bài là gì vậy em?

là rút gọn các biểu thức sau ạ

√(√5 - 3)² + (2 - √5)²

= |√5 - 3| + |2 - √5|

= 3 - √5 + √5 - 2

= 1

  \(\sqrt{\left(\sqrt{5}-3\right)^2}\) + \(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}\)

= |\(\sqrt{5}\) - 3| + | 2 - \(\sqrt{5}\)|

= 3 - \(\sqrt{5}\)  + \(\sqrt{5}\) - 2

= 1 

(\(x\) - 2)(\(\sqrt{3x+1}\) ) - 1 = 3\(x\)  Đk : 3\(x\) + 1 ≥ 0;  \(x\) ≥ - \(\dfrac{1}{3}\)

(\(x\) - 2)(\(\sqrt{3x+1}\)) - (3\(x\) + 1) = 0

\(\sqrt{3x+1}\).(\(x\) - 2 - \(\sqrt{3x+1}\)) = 0

\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{3x+1}=0\\x-2-\sqrt{3x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\x-2=\sqrt{3x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\x^2-4x+4=3x+1\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{3}\\x^2-7x+3=0\end{matrix}\right.\)

\(x^2\) - 7\(x\) + 3 = 0

△ = 49 -12 = 37

\(x_1\) = \(\dfrac{7+\sqrt{37}}{2}\)

\(x_{_{ }2}\) = \(\dfrac{-7-\sqrt{37}}{2}\) (loại)

Em dùng công thức toán học hoặc viết ra giấy, chụp ảnh rồi up lên chứ thế này cô không đúng đề bài để giúp em được.

Bạn xem lại đề dấu căn và dấu =

Đề sai rồi em, đề đúng phải là 4x² + 12x + 9

\(P=\sqrt[]{x}+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\left(x>1\right)\)

\(P=\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}+1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số \(\sqrt[]{x}-1;\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\) ta được :

\(\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\ge2\sqrt[]{\sqrt[]{x}-1.\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\ge2\sqrt[]{3}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}+1\ge2\sqrt[]{3}+1\)

\(\Rightarrow Min\left(P\right)=2\sqrt[]{3}+1\)

sorry mn cho e sửa lại đề ạ

tìm gtln của p ạ