đề đâu bạn ??

Là sao bạn

ko hỉu

cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M bất kì D,E,F là hình chiếu của M trên BC,CA,AB

a)CMR D,E,F thẳng hàng

b) vẽ Ax là tiếp tuyến của(O) MH vuông góc với Ax cmr MH.MD=ME.MF

a) +) Ta có \(\Delta ABE\) vuông tại E và \(\Delta ACF\) vuông tại F ( vì BE và CF là hai đường cao của ∆ABC)  

\(\Rightarrow cosBAC=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)

   +) \(\Delta ADC\) vuông tại D có DK là đường cao  \(\Rightarrow\)AD² = AK.AC

 Lại có \(\Delta ADB\) vuông tại D có DI là đường cao \(\Rightarrow\) AD² = AI.AB

 Suy ra: AI.AB = AK. AC 

b) Ta có \(\Delta ADB\) vuông tại D \(\Rightarrow sinABC=\frac{AD}{AB}\) 

Lại có \(\Delta CBE\) vuông tại E và \(\Delta AHE\) vuông tại E

 mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\)( cùng bù \(\widehat{DHE}\)) \(\Rightarrow sinABC=\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AH}\)

 \(\Rightarrow\frac{cosBAC}{sinABC.sinACB}=\frac{AE}{AB}:\left(\frac{AD}{AB}.\frac{AE}{AH}\right)=\frac{AE}{AB}.\frac{AB.AH}{AD.AE}=\frac{AH}{AD}\)

Vậy\(AD.cosBAC=AH.sinABC.sinACB\left(đpcm\right)\)

Cái này ko biết trình bày làm sao nên tôi diễn đạt theo ý tui nhe

ĐK x lớn hơn hoặc = 0 , y lớn hơn hoặc bằng 0

Dễ thấy x= 0 y=0 là nghiệm của PT

Xét x>0

Thì x+ căn x = y^2

Suy ra căn x = y^2-x

Tới khúc này tôi bí rồi, bạn thử tham khảo phương pháp chỉ ra nghiệm duy nhất  nhe

Dễ thây \(x+y\ge0\)ta có

\(x+y\ge x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y\le2\)

+) Kẻ \(OI\perp MN;OK\perp PQ\)

\(MI^2=OM^2-OI^2\Rightarrow MN^2=4R^2-4OI^2\)

\(PK^2=OP^2-OK^2\Rightarrow PQ^2=4R^2-4OK^2\)

\(\Rightarrow MN^2+PQ^2=8R^2-4\left(OI^2+OK^2\right)=8R^2-4OH^2\)

Áp dụng đẳng thức: \(x^2+y^2=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x-y\right)^2}{2}\)

Ta có: \(MN^2+PQ^2=\frac{\left(MN+PQ\right)^2}{2}+\frac{\left(MN-PQ\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(MN+PQ\right)^2=2\left(MN^2+PQ^2\right)-\left(MN-PQ\right)^2\)

\(\Leftrightarrow MN+PQ=\sqrt{8\left(2R^2-OH^2\right)-\left(MN-PQ\right)^2}\)

Do \(8\left(2R^2-OH^2\right)\)không đổi nên

\(\left(MN+PQ\right)_{min}\Leftrightarrow\left(MN-PQ\right)^2_{max}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}MN_{max}\\PQ_{min}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}MN_{min}\\PQ_{max}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}MN=2R\\PQ\perp AB\left(H\right)\end{cases}}\)hoặc \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}PQ=2R\\MN\perp AB\left(H\right)\end{cases}}\)

+) \(\left(MN+PQ\right)_{max}\Leftrightarrow\left(MN-PQ\right)^2_{min}\)\(\Leftrightarrow MN=PQ\Leftrightarrow OI=OK\Rightarrow\widehat{MHA}=\widehat{PHA}=45^0\)