Số đã cho có thể viết là \(N=101010...10\) (27 cụm 10)

Do đó \(N=10^{53}+10^{51}+10^{49}...+10^1\)

\(\Rightarrow100N=10^{55}+10^{53}+10^{51}+...+10^3\)

\(\Rightarrow99N=10^{55}-10\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{55}-10}{99}\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10^{55}-10}{99}⋮27\) hay \(10^{55}-10⋮2673\)

Mà \(2673=3^5.11\) nên ta cần cm \(10^{55}-10⋮243=3^5\) và \(10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮11\)

 Ta thấy 10 chia 11 dư \(-1\) nên \(10^{54}\) chia 10 dư 1. Từ đó \(10^{54}-1⋮11\) \(\Rightarrow10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮3^5\)

Điều này tương đương với \(10^{54}-1⋮3^5\). 

Ta có \(10^{54}-1=\left(10^{27}-1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^9-1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^3-1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

\(=\left(10-1\right)\left(10^2+10+1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^8+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 Ta thấy \(10-1=9=3^2\), \(10^2+10+1,10^6+10^3+1,10^{18}+10^9+1⋮3\) do chúng đều có tổng các chữ số là 3. Từ đó \(10^{54}-1⋮3^5\)

 Vậy, ta có đpcm.

 Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

\(N=10^{80}+10^{79}+...+10^1+10^0\)

\(\Rightarrow10N=10^{81}+10^{80}+...+10^2+10^1\)

\(\Rightarrow9N=10^{81}-1\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{81}-1}{9}\)

 Ta chứng minh \(\dfrac{10^{81}-1}{9}⋮81=3^4\) hay \(10^{81}-1⋮3^6\)

 Kí hiệu \(v_p\left(n\right)\) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 \(v_3\left(10^{81}-1\right)=v_3\left(10-1\right)+v_3\left(81\right)\) \(=2+4=6\)

 Do đó \(10^{81}-1⋮3^6\), ta có đpcm.

 (Bạn có thể tìm hiểu thêm về định lý LTE trên mạng nhưng bạn sẽ không được dùng nó vào chương trình lớp 6 đâu. Bạn có thể cm điều này bằng cách phân tích \(10^{81}-1\) thành tích của các số nhưng sẽ hơi lâu.)

Lời giải:

Ta có:

\(\underbrace{111....1}_{81}=\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{72}+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{63}+\underbrace{111...1}_{9}\times 10^{54}+....+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^0\)

\(=\underbrace{111....1}_{9}(10^{72}+10^{63}+...+10^0)\)

\(=\underbrace{111...1}_{9}\times 1\underbrace{0...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\)

Ta thấy thừa số thứ nhất chia hết cho 9 (do tổng các chữ số bằng 9). Thừa số thứ 2 cũng chia hết cho 9 (do tổng các chữ số chia hết cho 9)

Do đó tích 2 thừa số trên chia hết cho $9.9=81$

Ta có điều phải chứng minh.

a) \(X=\left\{15;26;37;48;59\right\}\)

b) \(Y=\left\{93;84;75\right\}\)

(Mình viết thế này cho gọn chứ khi làm bài bạn phải trình bày đầy đủ ra nhé)

a) 2 chia 3 dư 2

5 chia 3 dư 2

8 chia 3 dư 2

11 chia 3 dư 2

Quy luật của dãy số: aₙ = 3n + 2 (n ∈ ℕ)

b) A = {2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29}

 Ta có \(P=x^2+12x=x\left(x+12\right)\)

 Rõ ràng \(x< x+12\) để \(P\) là số nguyên tố thì \(x=1\) và \(x+12=13\) là số nguyên tố (thỏa mãn)

 Vậy để \(x^2+12x\) là SNT thì \(x=1\)

Tập hợp S là : \(S\text{=}\left\{15;99\right\}\)

\(15\in S,99\in S\)

 Để *817* chia hết cho 6 thì *817* phải đồng thời chia hết cho 2 và 3.

 Để *817* chia hết cho 2 thì * chẵn hay * \(\in X=\left\{0;2;4;6;8\right\}\)

 Để *817* chia hết cho 3 thì \(2.\)* \(+8+1+7\) chia hết cho 3

 hay  \(2.\)* \(+16\) chia hết cho 3

 hay \(2.\)* chia 3 dư 2.

 hay * chia 3 dư 1 

 hay *\(\in Y=\left\{1;4;7\right\}\)

 Như vậy, *\(\in X\cap Y=\left\{4\right\}\) hay * \(=4\)

Vậy để *817* chia hết cho 6 thì * \(=4\)

Hình chữ thập của em đâu nhỉ?

Cắt chữ thập thành 5 mảnh và ghép lại thành 1 hình vuông

\(\overline{208ab}\) \(⋮\) 15  vì 15 = 3.5 ⇒ \(\overline{208ab}\) ⋮3; 5

⇒ b = 0; 5 ⇒ 2 + 0 + 8 + a + b  ⋮ 3

10 + a + b ⋮ 3 ⇒ 1 + a + b ⋮ 3 ⇒ a + b = 2; 5; 8; 11; 14; 17

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có các cặp số tự nhiên a; b thỏa mãn đề bài là:

   (a; b) = (2; 0); (5;0); (8;0); (0;5); (3; 5); (6;5); (9; 5)