x( 1 + y ) - y( xy - 1 ) - x²y

= x + xy - xy² + y - x²y

= ( x + y ) + ( xy - xy² - x²y )

= ( x + y ) + xy( 1 - y - x )

= ( x + y ) + xy[ -( x + y - 1 ) ]

= ( x + y ) - xy( x + y - 1 ) (*)

Với x + y = 5 ; xy = 2

(*) = 5 - 2( 5 - 1 ) = 5 - 2.4 = -3

Bài làm :

Đặt  \(A=x\left(1+y\right)-y\left(xy-1\right)-x^2y\)

\(=x+xy-xy^2+y-x^2y\)

\(=\left(x+y\right)+\left(xy-xy^2-x^2y\right)\)

\(=\left(x+y\right)+xy\left(1-y-x\right)\)

\(=\left(x+y\right)+xy\left[1-\left(y+x\right)\right]\)

Thay x + y = 5 và xy = 2 vào biểu thức trên , ta có :

\(A=5+2\left(1-5\right)\)

\(=5+2.\left(-4\right)\)

\(=-3\)

Vậy giá trị của biểu thức bằng -3 khi x + y = 5 và xy = 2 .

Học tốt

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) <=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}=-\frac{1}{c^3}\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

<=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Khi đó, A = \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)

Xét: \(A=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

Ta có đẳng thức sau: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)

(Đẳng thức này chứng minh rất dễ nha, chỉ cần bung hết ra là được)

Vậy ta thế \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\)vào đẳng thức:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)+\frac{3}{abc}\)

\(=\frac{3}{abc}\)Vì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)---> Thế cái này vào A:

\(\Rightarrow A=abc.\frac{3}{abc}=3\)

Xoooooooong !!!!! :)))

Đây là 1 bài toán cực nổi tiếng lun.

Liên quan tới 1 giả thiết của Fermat cho rằng \(2^{2^n}+1\)Là các số nguyên tố

Tuy nhiên khi xét tới n=5 tức là \(2^{2^5}+1=2^{32}+1\)thì lại sai

Vì \(\frac{2^{32}+1}{641}=6700417\)Tức là chia hết cho 641

Vậy kết quả cuối cùng là ko phải số nguyên tố nha ! :))

Đây là một bài toán hay áp dụng phương pháp phân tử ,  lời giải như sau

Xét \(M=x^{32}-x^{24}+2x^{23}+x^{18}-2x^{17}-x^{10}+2x^9+1\)Phân tích M thành nhân tử ta được 

\(M=\left(x^9+x^7+1\right)\cdot\left(x^{23}-x^{21}+x^{19}-x^{17}+x^{14}-x^{10}+x^9-x^7+1\right)\)(Phần phân tích các bạn tự làm nhé )

Suy ra nếu \(x\in Z\)thì M chia hết cho \(x^9+x^7+1\)

Với x=2 thì \(M=2^{32}-2^{24}+2\cdot2^{23}+2^{18}-2\cdot2^{17}-2^{10}+2\cdot2^9+1=2^{32}+1\)Mặt khác do 2 nguyên nên M chia hết cho \(2^9+2^7+1=641\)Suy ra M là hợp số 

      Vậy \(2^{32}+1\)không là số nguyên tố  

\(A=2^{32}+1\)

( x - 1 )³ + 3x( x - 4 ) + 2 = 0

<=> x³ - 3x² + 3x - 1 + 3x² - 12x + 2 = 0

<=> x³ - 9x + 1 = 0

Chịu :))

Mình sửa đề 1 chút\(\left(x-1\right)^3+3x\left(x-4\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1+3x^2-12x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-9x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-9=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm3\end{cases}}\)

Giả sử 3⁵⁰+ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp thật.

Gọi số nhỏ hơn là a

Theo đề: \(a\left(a+1\right)=3^{50}+1\Leftrightarrow a^2+a-\left(3^{50}+1\right)=0\)(1)

Phương trình (1) có nghiệm tự nhiên thì  \(\sqrt{\Delta}\)phải là số tự nhiên

---> Khi và chỉ khi \(\Delta\)là số chính phương

Chú ý rằng: Số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k+1, k là số tự nhiên

Chứng minh: Với số chia 3 dư 1: \(\left(3n+1\right)^2=9n^2+6n+1=3\left(3n^2+2n\right)+1=3k+1\)

Với số chia 3 dư 2: \(\left(3n+2\right)^2=9n^2+12n+4=3\left(3n^2+4n+1\right)+1=3k+1\)

Với số chia hết cho 3 thì rõ ràng bình lên mang dạng 3k rồi ha.

Xét \(\Delta=1+4\left(3^{50}+1\right)=4.3^{50}+5=3\left(4.3^{49}+1\right)+2=3k+2\)

Vậy \(\Delta\)không là số chính phương (hay có thể khẳng định\(\sqrt{\Delta}\) là vô tỉ lun)

Nên các nghiệm của phương trình (1) không là sô tự nhiên

---> Kết luận: bla bla bla bla bla......

Vì cả 2 số hạng đều là số chính phương, ta phân tích nhân tử bằng cách sử dụng công thức hiệu của 2 bình phương:\(a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\) trong đó: \(a=x^2+x-1\)và \(b=x^2+2x+3\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+3x+2\right)\left(x+4\right)\)

\(\left(x^2+x-1\right)^2-\left(x^2+2x+3\right)^2\)

\(=\left(x^2+x-1+x^2+2x+3\right)\left(x^2+x-1-x^2-2x-3\right)\)

\(=\left(2x^2+3x+2\right)\left(-x-4\right)\)

\(\left(x+\frac{4}{3}y^2\right)^2=x^2+\frac{8xy^2}{3}+\frac{16y^4}{9}\)

\(\left(2x^2+\frac{5}{3}y\right)^2=4x^4+\frac{20x^2y}{3}+\frac{25y^2}{9}\)

\(\left(x+\frac{4}{3}y^2\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{4}{3}y^2+\left(\frac{4}{3}y^2\right)^2=x^2+\frac{8}{3}xy^2+\frac{16}{9}y^4\)

\(\left(2x^2+\frac{5}{3}y\right)^2=\left(2x^2\right)^2+2\cdot2x^2\cdot\frac{5}{3}y+\left(\frac{5}{3}y\right)^2=4x^4+\frac{20}{3}x^2y+\frac{25}{9}y^2\)

Hình bạn có thể tự vẽ ??

a, Ta có : Tam giác ABC đều, AH là đường cao => AH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> H là trung điểm của BC => BH = 1/2 BC  (1)

Mà M là trung điểm của AB => BM = 1/2  AB  (2)

Lại có : AB = BC ( do tam giác ABC đều )   (3)

Từ (1),(2),(3) => BM = BH

=> Tam giác BMH cân tại B ( định nghĩa )

Mà góc B = 60 độ   ( do tam giác ABC đều-gt)

=> BMH là tam giác đều

=> Góc MBH = góc MHB 

Mà góc B = Góc ACB  ( do tam giác ABC đều )

=> góc MHB = góc ACB
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị khi HC cắt MH, AC

=> MH//AC ( dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song )

Xét tứ giác AMHC, có :

MH//AC - cmt

=> Tứ giác AMHC là hình thang (định nghĩa)

Xét hình thang AMHC (MH//AC) , có

góc MAC = góc ACH ( do tam giác ABC đều -gt)

=> Hình thang AMHC là hình thang cân (định lí)

Vậy hình thang AMHC là hình thang cân

b, Ta có : BE, CF lần lượt vuông góc với đường thẳng MH 

=> BE//CF ( quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song)
=> góc EBH = góc HCF (2 góc so le trong)

Xét tam giác BEH và tam giác CHF,có :

HB=HC ( do H là trung điểm của BC-cmt)

góc EBH = góc HCF -cmt

góc EHB = góc FHC - 2 góc đối đỉnh

Do đó tam giác BEH = tam giác CFH (gcg)

=> BE = CF (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác BEFC, có :

BE//CF -cmt

BE=CF - cmt

=> Tứ giác BEFC là hình bình hành ( định lí )

=> BF = CE (định lí )

Vậy BF=CE.