Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}\ge y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}\ge z\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được:

\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy Min P=1 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

anh Châu ơi, 1+1+1 đâu có = 2 anh.

Dễ thấy P>0. Ta có: \(P^2-\frac{8}{9}=\frac{\left(x-y\right)^2\left(x^2+4xy+y^2\right)}{9\left(xy+1\right)^2}\)

Suy ra \(P\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: Phân tích trên chỉ đúng khi \(x^2+y^2=1\) :))

ĐK phải có thêm x,y>0 nữa chứ nhỉ

\(E=\frac{2013}{x}+\frac{1}{2013y}=\left(\frac{2013}{x}+2013x\right)+\left(\frac{1}{2013y}+2013y\right)-2013\left(x+y\right)\)

\(=\left(\frac{2013}{x}+2013x\right)+\left(\frac{1}{2013y}+2013y\right)-2013\cdot\frac{2014}{2013}\)

\(=\left(\frac{2013}{x}+2013x\right)+\left(\frac{1}{2013y}+2013y\right)-2014\)

Áp dụng bđt cô si ta có: 

\(\frac{2013}{x}+2013x\ge2\sqrt{\frac{2013}{x}\cdot2013x}=2\cdot2013=4026\)

\(\frac{1}{2013y}+2013y\ge2\sqrt{\frac{1}{2013y}\cdot2013y}=2\)

Suy ra \(E\ge4026+2-2014=2014\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{2013}{x}=2013x\\\frac{1}{2013y}=2013y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{2013}\end{cases}}\)

Vậy...

Cảm ơn bạn nha

Đề đúng (Hậu Giang 2013-2014) :Cho \(a^3+3ab^2=2014\)và \(b^3+3a^2b=2013\).Tính \(P=a^2-b^2\)

Ta có: 

\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=\left(a^3+3ab^2\right)+\left(b^3+3a^2b\right)=2014+2013=4027\)

\(\Rightarrow a+b=\sqrt[3]{4027}\)

\(\left(a-b\right)^3=a^3+3ab^2-\left(b^3+3a^2b\right)=2014-2013=1\)

\(\Rightarrow a-b=1\)

do đó \(P=a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=1.\sqrt[3]{4027}=\sqrt[3]{4027}\)