\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\left(a,b,c>0\right)\).

Với \(a,b>0\), ta có:

\(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}\).

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\).

Chứng minh tương tự (với \(b,c>0\)), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\).

Chứng minh tương tự (với \(a,c>0\)), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:

\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le\)\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\)\(\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]\).

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)\).

Ta có:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).

\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).

\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1\).

Do đó:

\(\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)\).

Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\)\(\sqrt{3}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\sqrt{3}\)với \(a,b,c>0\)và \(abc=1\).

\(+2\)nhé, không phải \(-2\)đâu.

1+2+2+5+7+8+9+2+1

a) Khối lượng các nguyên tố có trong A

mC = 12. nCO2 = 12. (8,96: 22,4) = 4,8 gam

mH = 2.nH2O = 2. (10,8 : 18) = 1,2 gam

Ta có: mC + mH = 4,8 +1,2 = 6 (g) = mA

Vậy chất hữu cơ A chỉ có 2 nguyên tố là cacbon và hiđro.

b) Gọi công thức phân tử của A: CxHy 

Ta có tỉ lệ:  x : y = 0,4 : 1,2 = 1 : 3

⇒ Công thức tổng quát của A:  (CH3)n  

Biết: dA/H2 = 15 ⇒ MA = 15.2 =30 (g/mol)  ⇒ 15n = 30 ⇒ n =2

Vậy, công thức phân tử của hiđrocacbon A là C2H6 (etan)

c) Công thức cấu tạo của A:  CH3 - CH3

Chất A không làm mất màu dung dịch brom vì A chỉ có liên kết đơn trong phân tử.

d) Phương trình hóa học : C2H6 + Cl2 → C2H5Cl + HCl

Do nọc của côn trùng (ong, kiến) có axit fomic. Nước vôi là bazo nên trung hòa axit làm vết thương đỡ đau

\(2HCOOH+Ca\left(OH\right)_2\rightarrow\left(HCOO\right)_2Ca+2H_2O\)

Nọc độc của ong, kiến, ... có chứa axit formic. Dung dịch nước vôi là canxi hydroxit. Khi axit tác dụng với bazơ sẽ cho phản ứng trung hoà tạo muối và nước :

\(2H_2CO_2+Ca\left(OH\right)_2\rightarrow Ca\left(HCO_2\right)_2+2H_2O\) 

* \(Ca\left(HCO_2\right)_2\) là canxi format

Dùng kim loại Na để nhận ra được A là ancol vì có sủi bọt khí thoát ra 

Dùng quỳ tím để nhận ra được B là axit vì quỳ tím chuyển sang màu đỏ

Cho A tác dụng với natri nếu có sủi bọt khí ta chứng minh được A có nhóm OH, vậy A là rượu etylic

PTHH: 2C₂H₅OH + 2Na → 2C₂H₅ONa + H₂↑ 

Để chứng minh B là axit axe, ta cho mẩu quỳ tím vào chất B, nếu quỳ tím chuyển sang màu đỏ 

Các phản ứng xảy ra:

C₆H₁₂O₆ men rượu→ 2C₂H₅OH + 2CO₂

C₂H₅OH + O₂ men giấm→ CH₃COOH + H₂O

CH₃COOH+C₂H₅OH H2SO4,170^oC→ CH₃COOC₂H₅ + H₂O

CH₃COOC₂H₅ + NaOH→CH₃COONa + C₂H₅OH

a) Hiện tượng: Axetilen cháy trong khí với ngọn lửa sáng, tỏa nhiều nhiệt.

PTHH: 2C₂H₂(k) + 5O₂(k) t0→→t0 4CO₂ (k) + 2H₂O (h) 

b) Hiện tượng: Dung dịch brom bị mất màu da cam

PTHH: CH ≡ CH (k) + Br₂ (dd)  → CHBr₂ − CH₂Br (l)

                            màu da cam           không màu

a) Hiện tượng: Axetilen cháy trong khí với ngọn lửa sáng, tỏa nhiều nhiệt.

PTHH: 2C₂H₂(k) + 5O₂(k)  $\stackrel{t^0}{\to }$ 4CO₂ (k) + 2H₂O (h)                               

b) Hiện tượng: Dung dịch brom bị mất màu da cam                                      

PTHH: CH ≡ CH (k) + Br₂ (dd)  → CHBr₂ − CH₂Br (l)                               

a) Trên nhãn một chai cồn y tế có ghi: Cồn 70o

- Ý nghĩa: Trong 100 ml cồn 70o có 70 ml rượu etylic và 30 ml nước.

Thể tích rượu etylic nguyên chất có trong 50 ml cồn 70o là

- \(V_{C_2H_5OH}=\frac{Đr}{100^0}\times V_{dd C_2H_5OH}=\frac{70^0}{100^0}\times50=35\left(ml\right)\)

b) nC2H5OH = 0,2 mol; nCH3COOH = 0,1 mol

PTHH:         CH3COOH + C2H5OH CH3COOC2H5 + H2O

Theo PTHH  1 mol              1 mol

Theo đề bài   0,1 mol          0,2 mol

Ta thấy \(\frac{0,1}{1}< \frac{0,2}{1}\)

Vậy CH3COOH phản ứng hết nếu H =100%. C2H5OH dư, mọi tính toán theo số mol của CH3COOH.

Theo PTHH: \(n_{CH_3COOC_2H_5}=n_{CH_3COOH}=0,1\left(mol\right)\)

\(\Rightarrow m_{CH_3COOC_2H_5\left(LT\right)}=0,1\times88=8,8\left(gam\right)\)

Hiệu suất của phản ứng là: \(Hs=\frac{5,28}{8,8}\times100=60\%\)

3627

\(n_{hh}=\frac{V}{22,4}=\frac{4,48}{22,4}=0,2\left(mol\right)\)   

\(n_{CaCO_3}=\frac{m}{M}=\frac{30}{100}=0,3\left(mol\right)\)

Gọi x là số mol Ch4 ; y là số mol C2H6 

\(CH_4+2O_2\rightarrow CO_2+2H_2O\)   

x                                x

\(C_2H_6+\frac{7}{2}O_2\rightarrow2CO_2+3H_2O\)   

y                                        2y

\(CO_2+Ca\left(OH\right)_2\rightarrow CaCO_3+H_2O\)

0,3                                              0,3 

Ta có hê phương trình 

\(\hept{\begin{cases}x+y=0,2\\x+2y=0,3\end{cases}}\)   

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0,1\left(mol\right)\\y=0,1\left(mol\right)\end{cases}}\)   

Vì Số mol hai chất bằng nhau nên thể tích hai chất cũng bằng nhau nên phần trăm thể tích mỗi chất là 50%

341

a 

\(CH\equiv CH\)                      \(CH_3-CH_3\)   

b 

Dùng dd brom để làm mất màu etilen 

\(CH_2=CH_2+Br_2\rightarrow CH_2Br-CH_2Br\)   

c 

TN1 

Benzen có phản ứng với brom nguyên chất , phản ứng thế 

\(C_6H_6+Br_2\rightarrow C_6H_5Br+HBr\)   

TN2 

Dầu không tan , nổi trên mặt nước 

a) \(H-C\equiv C-H\)                                    \(CH_3-CH_3\)

b) Dẫn 2 loại khí trên vào dung dịch brom.

- Khí nào làm nước brom bị mất màu là etilen.

\(CH_2=CH_2+Br-Br\text{ }\rightarrow\text{ }CH_2Br-CH_2Br\)

- Khí nào không làm mất màu dung dịch brom là metan.

c) - Thí nghiệm 1: Màu nâu đỏ của brom nhạt dần và có khí thoát ra do brom tác dụng với benzen theo phản ứng:

   C6H6 (l)  + Br2  (l) → C6H5Br (l) + HBr (k)

- Thí nghiệm 2: Chất lỏng phân thành 2 lớp: lớp trên là dầu ăn, lớp dưới là nước do dầu ăn không tan trong nước và nhẹ hơn nước.