m=-3

x=1

* Với \(m=-2\) thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn và chỉ có một nghệm duy nhất

* Với \(m\ne-2\) thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.

\(\Delta'=m^2-\left(m+2\right)\times1=m^2-m-2\)

TH1: \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m^2-m-2< 0\Leftrightarrow-1< m< 2\) thì phương vô nghiệm

TH2: \(\Delta'=0\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\) thì phương trình có nghiệm kép

 TH3: \(\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-m-2>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\infty\le m< -1\\2< m\le+\infty\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy: Với \(m=-2\) thì phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

               \(-1< m< 2\) thì phương trình đã cho vô nghiệm

               \(m=-1\) hoặc \(m=2\) thì phương trình đã cho có nghiệm kép

               \(-\infty\le m< -1\) và \(m\ne-2\)hoặc \(2< m\le+\infty\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Ta có \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)(*)

\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)là phương trình bậc 2 

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

vậy phương trình (*) luôn có nghiệm

c) Xét \(\Delta=\left(a+b\right)^2+8\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Xét \(\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(8\left[\left(a^2-2a+\frac{1}{2}b+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}\right]=8\left[\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]>0\forall a,b\)

\(\Delta>0\forall a,b\)=> phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi a,b (đpcm)

*em thấy câu a) và b) same same nhau

@Linh: Câu c) bạn chỉ cần xét tích \(-2\left(a^2-ab+b^2\right).1< 0\) chứ không cần tính hẳn \(\Delta\) ra cũng được.

( m + 1 )x² - 2x + ( m - 1 ) = 0

ĐKXĐ : m khác -1

Để phương trình có nghiệm thì Δ ≥ 0

=> ( -2 )² - 4( m + 1 )( m - 1 ) = 0

<=> 4 - 4( m² - 1 ) = 0

<=> 4 - 4m² + 4 = 0

<=> -4m² + 8 = 0

<=> m² - 2 = 0

<=> ( m - √2 )( m + √2 ) = 0

<=> m = ±√2

Vậy với m = ±√2 thì phương trình có nghiệm 

TH1: a=0 ⇔ (m+1) = 0 ⇔ m = -1. Khi đó phương trình đã cho là:

-2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

TH2: a ≠ 0 ⇔ m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi △' ≥ 0

⇔ 1 - (m+1)(m-1) ≥ 0 ⇔ -m² + 2 ≥ 0 ⇔ \(-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

KL: Kết hợp cả hai trường hợp ta được: \(-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

m( m - 2 )x² - 2mx + 3 = 0

ĐKXĐ : m ≠ 0 hoặc m ≠ 2

Để phương trình vô nghiệm thì Δ < 0

tức là ( -2m )² - 12m( m - 2 ) < 0

<=> 4m² - 12m² + 24m < 0

<=> -8m² + 24m < 0

<=> m² - 3m < 0

<=> m( m - 3 ) < 0

Xét hai trường hợp :

1) \(\hept{\begin{cases}m>0\\m-3< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< 3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}0< m< 3\\m\ne2\end{cases}}\)

2) \(\hept{\begin{cases}m< 0\\m-3>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m< 0\\m>3\end{cases}}\)( loại )

Vậy với \(\hept{\begin{cases}0< m< 3\\m\ne2\end{cases}}\)thì phương trình vô nghiệm

phương trình vô nghiệm

( m + 1 )x² - 2mx + ( m + 2 ) = 0

ĐKXĐ : m khác -1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ > 0

tức là ( -2m )² - 4( m + 1 )( m + 2 ) > 0

<=> 4m² - 4( m² + 3m + 2 ) > 0

<=> 4m² - 4m² - 12m - 8 > 0

<=> -12m > 8

<=> m < -2/3

Vậy với m < -2/3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

(m+1)x^2-2mx+(m+2) = 0(m+1)x²2−2mx+(m+2)=0  (Đk :m≠-1)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ>0

<=> (-2m)² -4(m+1)(m+2) >0

<=> 4m²-4(m² +3m+2)    >0

<=> 4m² -4m² -12m -8 >0

<=> -12m>8

<=> m<-2/3

vậy với m<-2/3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

( m + 2 )x² + 6mx + 4m + 1 = 0

ĐKXĐ : m ≠ -2

Để phương trình có nghiệm kép thì Δ = 0

tức là ( 6m )² - 4( m + 2 )( 4m + 1 ) = 0

<=> 36m² - 4( 4m² + 9m + 2 ) = 0

<=> 36m² - 16m² - 36m - 8 = 0

<=> 20m² - 36m - 8 = 0

<=> 5m² - 9m - 2 = 0

<=> 5m² - 10m + m - 2 = 0

<=> 5m( m - 2 ) + ( m - 2 ) = 0

<=> ( m - 2 )( 5m + 1 ) = 0

<=> m = 2 ( tm ) hoặc m = -1/5 ( tm )

Vậy với m = 2 hoặc m = -1/5 thì phương trình có nghiệm kép

m=2 ; m= -1/5

yea! wibu ở khắp mọi nơi

51 bạn mình chỉ điền bừa thôi nha 

còn tỉ lệ đúng :50%

(uii hê lô anh Đạt nha :33 lâu mới thấy anh comeback)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{x+y+z+3}\)(1)

Từ \(x+y+z\le3\)=> \(x+y+z+3\le6\)

=> \(\frac{1}{x+y+z+3}\ge\frac{1}{6}\)

=> \(\frac{9}{x+y+z+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\ge\frac{3}{2}\)

=> \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{2}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1

Đặt \(\hept{\begin{cases}1+x=a\\1+y=b\\1+z=c\end{cases}}\)ta có a+b+c=3+x+y+z mà x+y+z =<3

=> a+b+c\(\le6\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{6}\)ta sẽ chứng minh bài toán sau: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Xét vế trái của BĐT (1) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Với x,y,z là những số dương thì \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2;\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2;\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\)nên \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{3}{2}\). dấu "='" xảy ra <=> x=y=z=1