caai 1       966

câu 2          4

Các số tự nhiên giữa hai số nguyên tố cần tìm lập thành 1 cấp số cộng với d=1

Ta ký hiệu là \(c_{1;}c_2;c_3;...;c_n\Rightarrow a=c_1-1;b=c_n+1\)

\(\Rightarrow S=\frac{n\left(c_1+c_n\right)}{2}=280\Rightarrow c_1+c_2=\frac{560}{n}\)

+ Nếu \(a=2\Rightarrow b=3\) Không thoả mãn đều kiện đề bài là tổng các số tự nhiên giữa 2 số nguyên tố liên tiếp bằng 280 nên \(a\ne2\)

+ Khi \(a\ne2\) => a; b là số lẻ => \(c_1;c_n\) là số chẵn => n lẻ 

Từ \(c_1+c_n=\frac{560}{n}=\frac{2^4.5.7}{n}\) => n là ước lẻ của 560 \(\Rightarrow n=\left\{5;7;35\right\}\)

Với \(n=5\Rightarrow c_1+c_n=\frac{560}{5}=112\) và \(c_n-c_1=4\Rightarrow c_1=54;c_n=59\)

\(\Rightarrow a=c_1-1=53;b=c_n+1=59\)

Với \(n=7\Rightarrow c_1+c_n=\frac{560}{7}=80\) và \(c_n-c_1=6\Rightarrow c_1=37\) Trái điều kiện \(c_{1;}c_n\) chẵn nên TH này loại

Với \(n=35\Rightarrow c_1+c_n=\frac{560}{35}=16\) và \(c_n-c_1=34\) Hiệu lớn hơn tổng nên TH này loại

\(\Rightarrow t=53+59=112\)

góc CAD = góc CBD

Hình tự vẽ nhé

Theo đề ra: Tam giác ABC = tam giác DEF

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{E}\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{F}\)

\(\Rightarrow\widehat{E}-\widehat{F}=\widehat{B}-\widehat{C}=10^o\)

Mặt khác: \(\widehat{E}+\widehat{F}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{E}=\left(120^o+10^o\right):2=65^o\)

\(\Rightarrow\widehat{F}=\left(120^o-10^o\right):2=55^o\)

\(\Rightarrow\widehat{D}=180^o-\left(65^o+55^o\right)=60^o\)

Vậy các số đo tam giác ABC là: \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=60^o\\\widehat{B}=65^o\\\widehat{C}=55^o\end{cases}}\)

Ta có: x^2 – 2x + 1 = 6y^2 -2x + 2 

=> x^2 – 1 = 6y^2 => 6y^2 = (x-1).(x+1) chia hết cho 2 , do 6y^2 chia hết cho 2

Mặt khác x-1 + x +1 = 2x chia hết cho 2 => (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 

Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn => (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp 

(x-1).(x+1) chia hết cho 8 => 6y^2 chia hết cho 8 => 3y^2 chia hết cho 4 => y^2 chia hết cho 4 => y chia hết cho 2 

y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5

Có cách dễ hơn mà :>>

Ta có :

6y² + 1 = x²

Vì 6y² chẵn và 1 lẻ => x² là số chính phương lẻ 

=> x² chia 8 dư 1 => x - 1 ⋮ 8

Vì 6y² + 1 = x² => 6y² = x² - 1 ⋮ 8

=> 3y² ⋮ 4 => y² ⋮ 4 ( do ( 3 , 4 ) = 1 )

=> y ⋮ 2 mà y là số nguyên tố

=> y  = 2 => x = 5

Gọi phân số cần tìm có dạng 

Theo đề bài có: 

Quy đồng tử số ta được: 

Suy ra ta có  mà a là số nguyên nên -10a = 110 hoặc -10a = 120 hay a = -11 hoặc a = -12

Vậy hai phân số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là