\(x^2+x+m-2=0\)

\(a,m=0\)

\(\Rightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy m=0 thì pt có 2 nghiệm x=1 và x=-2

a, Thay m = 0 vào phương trình trên ta được : 

\(x^2+x-2=0\)

Ta có : \(\Delta=1+8=9\)

\(x_1=\frac{-1-3}{2}=-2;x_2=\frac{-1+3}{2}=1\)

Vậy m = 0 thì x = -2 ; x = 1 

b, Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-2\end{cases}}\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=1\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=1-2x_1x_2=2m-3\)

hay bất phương trình trên tương đương : 

\(2m-3-3\left(m-2\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow2m-3-3m+6< 1\Leftrightarrow-m+3< 1\)

\(\Leftrightarrow-m< -2\Leftrightarrow m>2\)

a, \(\Delta\)' =(m+3)\(^2\)-(m\(^2\)+6m)=m\(^2\)+6m+9-m\(^2\)-6m=9>0 với mọi m .Pt luôn có 2 no pb

b, Áp dụng hệ thức vi-ét có: x\(_1\)+x\(_2\)=-2(m+3)    ;   x\(_1\)x\(_2\)=m\(^2\)+6m     (I)

Để (2x\(_1\)+1)(2x\(_2\)+1)=13\(\Leftrightarrow\) 4x\(_1\)x\(_2\)+2(x\(_1\)+x\(_2\))+1=13       (*)

Thay (I) vào (*) có : 4(m\(^2\)+6m)-4(m+3)+1=13\(\Leftrightarrow\)4m\(^2\)+20m-24=0\(\Leftrightarrow\)m=1; m=-6

Đáp số:  $m=1;m=-6$

Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=1\end{cases}}\)

mà \(\left(x_1+x_2\right)^2=m^2\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=m^2-2x_1x_2=m^2-2\)

hay \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_2^2\right)+2\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2+2m=0\)

Ta có : \(\Delta=4+8=12\)

\(x_1=\frac{-2-\sqrt{12}}{2};x_2=\frac{-2+\sqrt{12}}{2}\)

m<-2hoặcm>2

Ta có: m²+2m-2=0<=>(m+1)²=3

<=>m=-1+\(\sqrt{3}\) (loại) ;      m=-1-\(\sqrt{3}\) (TM) 

oke bạn

Cre:Hangbich

Gọi \(BK\text{∩}\left(O\right)=E\rightarrow\widehat{KCE}=\widehat{KBC}=\widehat{KBA}=\widehat{ACE}\)

\(\rightarrow\Delta CDK\) Cân tại K

\(\rightarrow DE=EK=x\)

Ta có \(\Delta KEC\text{∼}\Delta KCB\left(g.g\right)\rightarrow\frac{KE}{KC}=\frac{KC}{KB}\)

\(\rightarrow KC^2=KE.KB\)

\(\rightarrow KB^2-BC^2=KE.KB\)

\(\rightarrow\left(BD+2x\right)^2-5^2=x.\left(BD+2x\right)\)

\(\rightarrow\left(4+2x\right)^2-25=x.\left(4+2x\right)\)

\(\rightarrow4x^2+16x+16-25=4x+2x^2\)

\(\rightarrow2x^2+12x-9=0\)

\(\rightarrow x=\frac{-6+3\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow BK=BD+2x=-2+3\sqrt{6}\)

hangbich chuyên gia bên hoidap nè

a) Vì AD là tia phân giác của góc CAB⇒góc CAH= góc HAB

mà góc CAH là góc nội tiếp chắn cung CH

      góc HAB là góc nội tiếp chắn cung HB

⇒ cung CH=cung HB

Ta có: góc HBC là góc nội tiếp chắn cung CH

          góc HBD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung HB

⇒ góc HBC = góc HBD

lại có: góc AHB chắn nửa (O)⇒góc AHB=90^o⇒AH\(\perp\)HB

Xét ΔFBD có: BH là đường cao đồng thời là đường phân giác

⇒ΔFBD cân tại B⇒FB=DB

Và BH là đường trung tuyến ⇒FH=FD

b)Ta có: góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa (O)

⇒ góc ACB= 90^o

Xét ΔABM vuông tại B có BC là đường cao ứng với cạnh huyền AM 

AC.AM=AB² ( hệ thức lượng trong Δ vuông ) (1)

Xét ΔABD vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AD

AH.HD=AB² ( hệ thức lượng trong Δ vuông ) (2)

Từ(1) và(2)⇒AC.AM=AH.HD

a)  vì góc CAH= góc HAB( AH là p/g của góc CAB)

=> cung CH= cung BH

Ta có : sđ góc CBH=1/2 sđ cung CH( góc nt chắn cung CH) => góc CBH=1/2 cung BH (1)

          sđ góc HBM=1/2 sđ cung BH ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BH) (2)

Từ 1 và 2 => góc CBH= góc HBM => CH là p/g của góc FBD

xét △ BDF có: CH là p/g của góc FBD

Mà BH còn là đường trung trực của FD( góc ABH chắn nửa đường tròn)

=>△BDF cân tại B => FB=DB : HF=HD

b) xét △ABM vuông tại B có: AC.AM=AB bình( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3)

          △ABD vuông tại B có: AH.AD=AB bình( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)

từ 3 và 4 => AC.AM=AH.AD_đpcm

có góc AQB= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Hay góc AQP=90 độ => góc QAP= 90 độ- góc QPA=90 độ-1/2sđ cung AP

có góc APC= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O1)=> góc PAC=90 độ - góc PCA=90 độ - 1/2sđ cung AP

Vì vậy góc QAP= góc PAC hay AP là tia phân giác của  góc QAB

Ta có: góc BQA =90^o (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét Δ PQA vuông tại Q có: góc QAP + góc QPA =90^o ⇒ góc QAP=90^o- góc QPA 

Mà góc QPA =1/2 sđ cung PA ( góc QPA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến cà dây cung chắn cung AP của (O1))

⇒góc QAP=90^o- 1/2 sđ cung PA (1)

Xét ΔCPA vuông tại P ( vì góc CPA là góc nội tiếp chắn nửa (O1)) có

góc PCA + góc PAC =90^o⇒góc PAC =90^o-góc PCA 

mà góc PCA =1/2 sđ cung PA ( góc nội tiếp chắn cung PA )

⇒góc PAC= 90^o-1/2 sđ cung PA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc QAP=góc PAC ⇒ AP là tia phân giác của góc QAB

ta có : Góc CAB = GÓc PQG ( 2 góc đối đỉnh ) . theo tính chất của góc nt , taco : Góc CBA = 1/2 cung AC . Góc APQ = 1/2 sd AQ(1) . theo t/c của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có ; GÓC CBA = 1/2 cung AC . APQ + 1/2 sđ AQ ( 2) . TỪ (1) , ( 2 ) => GÓC CBA = APQ . mà 2 góc này ở vị trí soletrong = > BC song song với QP

xAC=QAy(hai góc đối đỉnh)

theo tính chất của 2 góc được tạo bởi tia tiếp tuyến

=> xAC=1/2sđ cung AC,QAy=1/2sđ cungAQ(1)

theo tính chất của góc nội tiếp,ta có

=> ABC=1/2 sđ cung AC,APQ=1/2sđ cung AQ(2)

từ (1),(2)=> ABC=APQ

=> QP//BC

ta có góc ACH=gócABC(vì cùng phụ với góc CAB)

MCA=ABC(vì cùng chắn cung AC)

=> góc MCA=ACH hay AC là tia phân giác của góc MCH

Áp dụng bđt cô si ta có : \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(< =>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự và cộng theo vế ta được \(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Ta thấy  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}< =>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bđt phụ trên ta có \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\le\frac{\frac{1}{2}abc}{abc}=\frac{1}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=3\)

bài này quan trọng là tìm đc cái bđt phụ đó thôi bạn

Áp dụng BĐT\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Ta Có \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{bc}\right)\)  và \(a^2+b^2+c^2\le abc\)

\(=>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Tương tự các cái khác ta có

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)Dấu = xảy ra <=> a=b=c=3 "_"

Học tốt