a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O₁) , (O₂) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.

Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên $\widehat{MPQ}=\widehat{MHQ}=\widehat{MBH}\left(=\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{⌢}{\mathrm{HQ}}}{2}\right)$, do đó APQB là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có $\widehat{O^{1}PA}=\widehat{PA{O}^1}=90^o-\widehat{HMP}=90^o-\widehat{MPQ}$

$\Rightarrow \widehat{O^{1}PA}+\widehat{MPQ}=90^o\Rightarrow \widehat{O^{1}PQ}=90^o$ nên PQ tiếp xúc nửa đường tròn (O₁) tại P. 

Tương tự , PQ tiếp xúc (O₂) tại Q hay PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O₁) và (O₂)

hình bạn tự vẽ nha :

a.Ta có:

$\widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}={90}^o$

$\to A,P,H,M,Q\in$ đường tròn đường kính  $AM$

b.Từ câu a $\to A,P,H,M,Q\in (O,\frac{1}{2}AM)$

$\to OP=OH=OM=OQ$

Mà $\Delta ABC$ đều, $AH\perp BC\to \widehat{BAH}=\widehat{HAC}={30}^o$

$\to \widehat{HOQ}=2\widehat{HAQ}={60}^o,\widehat{POH}=2\widehat{PAH}={60}^o$

Do $OP=OH,OH=OQ$

$\to \Delta OPH,\Delta OHQ$ đều

$\to PH=OP=OQ=QH$

$\to OPHQ$ là hình thoi

a) Có $\widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}=90^o$ nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên $\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=30^o$.

Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và $\widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^o$ ; $\widehat{QOH}=60^o$ suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.

c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó $PQ=2.\genfrac{}{}{0ex}{}{r\sqrt{3}}{2}=AM.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}\ge AH.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}$

Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.

Theo giả thuyết suy ra các cung bằng nhau :

\(\widebat{AD}=\widebat{AF}=\widebat{DB}=\widebat{FC}\)

Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AD//EF\)   \(\left(1\right)\)

\(\widehat{A_2}=\widehat{C}_1\) mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AF//CD\)   \(\left(2\right)\)

và \(AD=EF\)  \(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\)ADEF là hình thoi

Giải thích các bước giải:

Đổi ${30}^{\prime }=\frac{1}{2}\left(h\right)$

Gọi quãng đường $AB$ là $x,x>0$

$\to$Thời gian đi là $\frac{x}{40},$Thời gian về là $\frac{x}{35}$

Ta có tổng thời gian đi và về là $6h{30}^{\prime }=\frac{13}{2}\left(h\right)$

$\to \frac{x}{40}+\frac{1}{2}+\frac{x}{35}=\frac{13}{2}$

$\to \frac{3}{56}x=6$

$\to x=112\left(km\right)$

 Nửa chu vi miếng đất hình chữ nhật là: $100:2=50(m{)}^{}$ 

Gọi chiều dài miếng đất là: $x(m{)}^{}$ 

      chiều rộng miếng đất là: $y(m{)}^{}$ 

                $(y<x<50{)}^{}$ 

Miếng đất hình chữ nhật có nửa chu vi là $50m^{}$. 

⇒ Phương trình: $x+y={50}^{}$ $(1{)}^{}$ 

5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40m.

⇒ Phương trình: $-2x+5y={40}^{}$ $(2{)}^{}$ 

Từ $(1{)}^{}$ và $(2{)}^{}$ ta có hệ phương trình:

    $\{\frac{x+y=50}{-2x+5y=40}$ 

⇔ $\{\frac{y=50-x}{-2x+5(50-x)=40}$ 

⇔ $\{\frac{y=50-x}{-2x+250-5x=40}$ 

⇔ $\{\frac{y=50-x}{-2x-5x=40-250}$ 

⇔ $\{\frac{y=50-x}{-7x=-210}$ 

⇔ $\{\frac{y=50-30}{x=30}$ 

⇔ $\{\frac{y=20\left(Nhận\right)}{x=30\left(Nhận\right)}$ 

Vậy miếng đất hình chữ nhật có chiều dài là $30m^{}$ và chiều rộng $20m^{}$. 

 ai kb ko

ko biết

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (x>0)

=> chiều dài mảnh đất là x+6 (m)

Theo định lý Pytago ta có độ dài đường chéo là:

$\begin{array}{c}\sqrt{x^2+{\left(x+6\right)}^2}=\sqrt{2x^2+12x+36}\left(m\right)\\ \Rightarrow \sqrt{2x^2+12x+36}=\frac{\sqrt{65}}{4}.x\\ \Rightarrow 2x^2+12x+36=\frac{65}{16}{x}^2\\ \Rightarrow \frac{-33}{16}{x}^2+12x+36=0\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}x=8\left(m\right)\\ x=-\frac{24}{11}\left(ktm\right)\end{array}\\ \Rightarrow S=x.\left(x+6\right)=8.\left(8+6\right)=112\left(m^2\right)\end{array}$

Vậy diện tích mảnh đất là $112m^2$

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x thì chiều rộng là \(\frac{720}{x}\left(x>0\right)\left(m\right)\)
\(\Leftrightarrow720-6x+\frac{7200}{x}-60=720\)
\(\Leftrightarrow6x^2-7200+60x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+10x-1200=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+40x-30x-1200=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+40\right)-30\left(x+40\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+40\right)\left(x-30\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=30\)vì \(x>0\)
Vậy chiều dài là\(30m\), chiều rộng là \(\frac{720}{30}=24m\)

Chiều rộng là 24m

Chiều dài mảnh vườn là 30m