Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$. Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AO$ ($C$ khác $A$ và $O$). Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $C$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $D$ và $K$. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $AO$ tại $E$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $DE$ tại $F$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $FO$ và $DK$.

Chứng minh các tứ giác $AFDO$ và $AHOK$ là tứ giác nội tiếp.

 xet tu giac AFDO co: goc FAO=FDO=90(gt)

=> tu giac AFDO noi tiep ( tong 2 goc doi dien bang 180)

vi OA vuong goc voi DK tai C (gt) va D,K thuoc (O)

=> OC la duong trung truc cua DK 

=> tam giac ODK can tai O

=> goc ODK = OKD (1)

Mat khac, $ta\; lai\; co\; F\; nam\; ngoai\; (O);$

$FA\; va\; FD\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> FO vuong goc voi AD 

va ta thay DC vuong goc voi OA

nen H la truc tam cua tam giac OAD

=>AH vuong goc voi OD=> AH song song voi ED

=> goc HAO=DEO (dong vi) (2)

Ta thay goc DEO= 90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOE)

va goc ODK=90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOK)

=>goc ODK=DEO (3)

Tu (1);(2);(3)=> goc OAH=OKH

=>tu giac AHOK noi tiep

 

Cho tam giác $ABC$ không có góc tù $(AB<AC)$, nội tiếp đường tròn $(O;R)$, ($B$, $C$ cố định, $A$ di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, đường thẳng này cắt $(O)$ tại $D$ và $E$ ($D$ thuộc cung nhỏ $BC$), cắt $BC$ tại $F$, cắt $AC$ tại $I$. Chứng minh rằng $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$ . Từ đó suy ra $MBIC$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co:

goc MBC= BAC (cung chan cung BC)

mat khac, ta lai co goc BAC = MIC ( dong vi)

=> goc MBC= MIC

=> tu giac BICM noi tiep 

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co: 

$I$ là trung điểm của $MN\; va\; MN\; la\; day\; cung\; cua\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; MN\; tai\; I$

$hay\; goc\; AIE=\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; ta\; lai\; co\; A\; nam\; ngoai\; (O);$

$AC\; va\; AB\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> AO vuong goc voi BC

hay goc AHE = 90 (2)

tu (1) va (2) => tu giac AHIE noi tiep (vi co 2 goc ke bang nhau)

Ta có :

Do BD và CE là các đường cao nên

suy ra góc BEC = góc BDC =90 độ

Xét tứ giác BCDE,có:

góc BEC=góc BDC

vậy BCDE là tứ giác nội tiếp(đpcm)

Do BM là tiếp tuyến của đường tròn nên ${}^o$

Xét đường tròn (O) có AD là một dây cung. Lại có E là trung điểm AD nên theo tính chất của đường kính và dây cung, ta có $OE\perp AD$ hay $\widehat{OEM}=90^o$.

Xét tứ giác OEBM có $\widehat{OBM}=\widehat{OEM}=90^o$, chúng lại là hai góc kề nhau nên OEBM là tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ $(AB<AC)$. Hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$. $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$. Gọi $E$ là trung điểm đoạn $AD$. Chứng minh $OEBM$ là tứ giác nội tiếp.

theo bai ta co $E$ là trung điểm đoạn $AD$

$ma\; AD\; la\; mot\; day\; cung\; thuoc\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; AD$

$hay\; goc\; OEM\; =\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; BM\; vuong\; goc\; voi\; OB\; tai\; B\; (gt)$

hay goc OBM= 90 (2)

Tu (1) va (2) suy ra tu giac OEBM noi tiep

   Ta có: góc AKP = 90độ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AK giao MN tại H =) Góc HKP = 90độ (1)

  Lại có: MC vuông góc AB =) Góc HCB = 90độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc HKP + góc HCP = 180độ

Mà 2 góc đối nhau

=) Tứ giác BCHK nội tiếp

Ta có: MP vuông góc AB (gt)

=) Góc MPA = 90độ (1)

Lại có: MQ vuông góc AC (gt)

=) Góc MQA = 90 độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc MPA + góc MQA = 180độ

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

=) Tứ giác APMQ nội tiếp

Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) AC vuông góc OA 

=) Góc OAC = 90độ (1)

Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)

=) DC vuông góc OD

=) Góc ODC = 90độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau                           

=) Tứ giác OACD nội tiếp