Điều kiện xác định: \(xy>0\)

Ta có:

\(C=\left(\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\div\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}-xy}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}\)

\(C=\frac{2\sqrt{xy}+y+x}{xy}\div\frac{\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\sqrt{xy}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}\)

\(C=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{xy}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

\(C=\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\right)^3\)

\(\frac{\left(x^2+a\right)\left(1+a\right)+a^2x^2+1}{\left(x^2-a\right)\left(1-a\right)+a^2x^2+1}=\frac{x^2+ax^2+a+a^2+a^2x^2+1}{x^2-ax^2-a+a^2+a^2x^2+1}\)

\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)+\left(a^2x^2+ax^2+x^2\right)}{\left(a^2-a+1\right)+\left(a^2x^2-ax^2+x^2\right)}=\frac{\left(a^2+a+1\right)+x^2\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-a+1\right)+x^2\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)\left(1+x^2\right)}{\left(a^2-a+1\right)\left(1+x^2\right)}=\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}\)

Vậy phân thức sau đây không phụ thuộc vào x, y

với x=-12 và y=99

\(C=\frac{x^3-x}{\left(1+xy\right)^2-\left(x+y\right)^2}\)

ĐKXĐ tự tìm

\(=\frac{x\left(x^2-1\right)}{\left(1+xy-x-y\right)\left(1+xy+x+y\right)}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left[x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)\right]\left[x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\right]}\)

\(=\frac{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

Với x = -12 ; y = 99 => \(C=\frac{-12}{\left(99-1\right)\left(99+1\right)}=\frac{-12}{9800}=\frac{-3}{2450}\)

Đặt \(A=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(c-d\right)\)

4 số nguyên a,b,c,d không chia cho 3 có 2  số có cùng dư. khi đó hiệu của chúng chia hết cho 3, hiệu là 1 trong các thừa số của A nếu A chia hết cho 3 (1)

Nếu a,b,c,d có 2 số có cùng dư. khi chia cho 4 thì A chia hết cho 4 còn nếu a,b,c,d có dư khác nhau khi chia chi 4 sẽ có 2 số chẵn và 2 số lẻ, lúc đó có 2 hiệu chia hết cho 2, do đó A chia hết cho 4 (2)

Từ 1,2=> A chia hết cho 12

a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b )c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

Vì a,b,c > 0 => a + b + c > 0

=> a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

<=> 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

<=> \(B=\frac{a^2+2a^2+3a^2}{6a\cdot a}=\frac{6a^2}{6a^2}=1\)

Đặt f(x) = x⁴ + ax³ + b

      g(x) = x² - 1 = ( x - 1 )( x + 1 )

f(x) chia hết cho g(x) <=> x⁴ + ax³ + b chia hết cho ( x - 1 )( x + 1 )

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x^4+ax^3+b\right)⋮\left(x-1\right)\left[1\right]\\\left(x^4+ax^3+b\right)⋮\left(x+1\right)\left[2\right]\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Bézout vào [1] ta có :

f(x) chia hết cho ( x - 1 ) <=> f(1) = 0

<=> 1 + a + b = 0

<=> a + b = -1 (1)

Áp dụng định lí Bézout vào [2] ta có :

f(x) chia hết cho ( x + 1 ) <=> f(-1) = 0

<=> 1 - a + b = 0

<=> -a + b = -1 (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}a+b=-1\\-a+b=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-1\end{cases}}\)

Vậy a = 0 ; b = -1

Ta có: \(a+b+c=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca+1-1=0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)

\(\Rightarrow a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)+c\left(1-b\right)-ca\left(1-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1-b\right)\left(a-1+c-ca\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1-b\right)\left[a\left(1-c\right)-\left(1-c\right)\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(a-1\right)=0\)

=> 1 - b = 0      hoặc        1 - c = 0      hoặc    a - 1 = 0

=> b = 1                            c = 1                       a = 1

Vậy trong các số a, b, c có ít nhất một số bằng 1

\(A=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}+\frac{y^3\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-y+y-z\right)+z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-y\right)-y^3\left(y-z\right)+z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)\left(x^3-y^3\right)-\left(x-y\right)\left(y^3-z^3\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(y^2+z^2+zy\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-y^2-z^2-zy\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x^2-z^2\right)+\left(xy-zy\right)\right]}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y\left(x-z\right)\right]}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x+z+y\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=x+y+z=2020\)