Cho tam giác ABC vuông tại A , lấy điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M khác A và C) Từ C kẻ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I chứng minh...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A , lấy điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M khác A và C) Từ C kẻ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I chứng minh rằng: \(BM.BD+CM.CA=BC^2\)
A B C E I D M
Xét Δ EBC có CA và BD là 2 đường cao cắt nhau tại M
=> M là trực tâm Δ EBC
=> EI _|_ BC
Ta có: Δ BMI ~ Δ BCD (g.g) vì:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{MBI}=\widehat{CBD}\left(chung\right)\\\widehat{BIM}=\widehat{BDC}=90^0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{BM}{BC}\Leftrightarrow BM\cdot BD=BI\cdot BC\) (1)
Tương tự ta CM được: \(CM\cdot CA=IC\cdot BC\) (2)
Cộng vế (1) với (2) ta được:
\(BM\cdot BD+CM\cdot CA=BC\cdot\left(BI+IC\right)=BC^2\)
=> đpcm