\(S=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{99^2}\right)\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{99}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1+\dfrac{1}{99}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{98}{99}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{100}{99}\)

\(=\dfrac{1}{99}\cdot\dfrac{100}{2}=\dfrac{50}{99}\)

                             giải

trung bình mỗi ngày bạn trồng được số cây là:

(24+32):2=28(cây)

đáp số :28 cây

Ta biết:\(\dfrac{11}{17}\)<\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{23}{29}\) và \(8b-9a=31\)(\(a,b\in N\))

\(\Rightarrow b=\dfrac{31+9a}{8}=\dfrac{32-1+8a+a}{8}=\left[\left(4+a\right)+\dfrac{a-1}{8}\right]\in N\)

⇒\(\dfrac{a-1}{8}\in N\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)⋮8\Rightarrow a=8k++1\)

khi đó\(b=\dfrac{31+9.\left(8k+1\right)}{8}=9k+5\)⇒\(\dfrac{11}{17}< \dfrac{8k+1}{9k+5}< \dfrac{23}{29}\)

11.(9k+5)<17.(8k+1)⇔k>129.(8k+1)<23.(9k+5)⇔k<4⇒1<k<4​

⇒kϵ{2;3}

k=2=>a=17

          b=23

k=3=>a=25

          b=32

kết luận:(a,b) là:(17,23);(25,32)

Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là số 3

=>a=3

Số chục là số nguyên tố chẵn

=>b=2

Số đơn vị là số nguyên tố duy nhất có tận cùng bằng 5

=>Hàng đơn vị là c=5

vậy: Số cần tìm là 325

Lời giải:

$PQ=AP$ và $P$ nằm giữa $A,Q$ nên $P$ là trung điểm $AQ$

$\Rightarrow PQ=AQ:2=8:2=4$ (cm) 

$Q$ nằm giữa $AB$ nên:

$AQ+QB = AB$

$QB=AB-AQ=12-8=4$ (cm) 

b.

Ta thấy $PQ=QB=4$ mà $Q$ nằm giữa $P,B$ nên $Q$ là trung điểm $PB$

Check lại : 

\(\dfrac{3}{19}.\dfrac{-5}{7}+\dfrac{-18}{19}.\dfrac{3}{14}+\dfrac{6}{19}\)

\(=\dfrac{3}{19}.\dfrac{-5}{7}+\dfrac{3}{19}.\dfrac{-18}{14}+\dfrac{6}{19}\)

\(=\dfrac{3}{19}.\left(\dfrac{-5}{7}+\dfrac{-18}{14}\right)+\dfrac{6}{19}\)

\(=\dfrac{3}{19}.-2+\dfrac{6}{19}\)

\(=\dfrac{-6}{19}+\dfrac{6}{19}\)

\(=0\)

\(\dfrac{3}{19}.\dfrac{-5}{7}+\dfrac{-18}{19}.\dfrac{3}{14}+\dfrac{6}{19}\)

\(=\dfrac{3}{19}.\dfrac{-5}{7}+\dfrac{3}{19}.\dfrac{-18}{14}+\dfrac{6}{9}\)

\(=\dfrac{3}{19}.\dfrac{-5}{7}+\dfrac{3}{19}.\dfrac{-9}{7}+\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{3}{19}.\left(\dfrac{-5}{7}+\dfrac{-9}{7}\right)+\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{3}{19}.-2+\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{-6}{19}+\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{20}{57}\)

Lời giải:
$(19\frac{5}{8}:\frac{7}{12}-13\frac{1}{4}:\frac{7}{12})\times \frac{4}{5}$

$=(19\frac{5}{8}-13\frac{1}{4}):\frac{7}{12}\times \frac{4}{5}$

$=\frac{51}{8}\times \frac{12}{7}\times \frac{4}{5}=\frac{306}{35}$

 Vì \(n\) chẵn nên đặt \(n=2k\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow F=\dfrac{n+1}{n^2+1}=\dfrac{2k+1}{4k^2+1}\)

 Gọi \(d=ƯCLN\left(2k+1,4k^2+1\right)\) \(\Rightarrow d\) lẻ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+1⋮d\\4k^2+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4k^2+2k⋮d\\4k^2+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2k-1⋮d\)

Lại có \(2k+1⋮d\) \(\Rightarrow\left(2k+1\right)-\left(2k-1\right)=2⋮d\). 

Vì d lẻ nên \(d=1\) \(\RightarrowƯCLN\left(2k+1,4k^2+1\right)=1\)

Ta có đpcm.

Lời giải:

$\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+n}=\frac{200}{101}$
$\frac{1}{\frac{2.3}{2}}+\frac{1}{\frac{3.4}{2}}+...+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{200}{101}$
$\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{n(n+1)}=\frac{200}{101}$

$\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{100}{101}$
$\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\frac{5-4}{4.5}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{100}{101}$

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{100}{101}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=\frac{100}{101}$
$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{100}{101}=\frac{-99}{202}$
$\Rightarrow n+1=\frac{-202}{99}$ (vô lý vì $n$ là số tự nhiên.

Bạn xem lại nhé.

Lời giải:

$A=(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40})+(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50})+(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60})$

$< \frac{10}{30}+\frac{10}{40}+\frac{10}{50}=\frac{181}{300}< \frac{4}{5}$

Ta có đpcm.