2(x + y) + xy = x² + y²

<=> x² + y² - 2x - 2y - xy = 0

<=> 4x² + 4y² - 4xy - 8x - 8y = 0

<=> (4x² - 4xy + y²) - 4(2x - y) + 4 + 3y² - 12y + 12 - 16 = 0

<=> (2x - y)² - 4(2x - y) + 4 + 3(y² - 4y + 4) = 16

<=> (2x - y - 2)² = 16 - 3(y - 2)² (1)

Do VT = (2x - y - 2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x;y

=> VP = 16 - 3(y - 2)² \(\ge\)0 

=> 3(y - 2)² \(\le\) 16

=> (y - 2)² \(\le\)16/3

Do y nguyên dương và (y - 2)² là số chính phương => (y - 2)² \(\in\){0; 1; 4}

=> y - 2 \(\in\){0; 1; -1; 2; -2}

Lập bảng:

Với y = 2 , khi đó pt (1) trở thành: (2x - 2 - 2)² = 16 - 3.0

<=> (2x - 4)² = 16

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x-4=4\\2x-4=-4\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=4\\x=0\end{cases}}\)

Với y = 3 .... (tự thay vào tìm x)

\(S=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]+.........+\left[\sqrt{99}\right]+\left[\sqrt{100}\right]\)

\(=\left(\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\left[\sqrt{3}\right]\right)+\left(\left[\sqrt{4}\right]+\left[\sqrt{5}\right]+.....+\left[\sqrt{8}\right]\right)+...+\left(\left[\sqrt{81}\right]+...+\left[99\right]\right)+\left[\sqrt{100}\right]\)

\(=\left(1+1+1\right)+\left(2+2+2+2+2\right)+.......+\left(9+9+9+9+.....+9\right)+10\)

Đến đây dùng casio bạn nhé nếu mình ko có nhầm lẫn về mặt định nghĩa của phần nguyên ^_^

hóng cao nhân :)))) sáng giờ chả thấy ai 

Giả sử \(a\le b\)

+) Nếu \(b=1\rightarrow0\le a\le1;\)cần chứng minh:\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+a}\). Nhưng đây là điều hiển nhiên vì \(a\ge0\)

+) Nếu b < 1 thì a < b < 1. Đặt \(a=\frac{x}{x+1},\text{ }b=\frac{y}{y+1}\text{ }\left(x,y\ge0\right)\)

Sau khi quy đồng được bất đẳng thức hiển nhiên. :D

Trả lời:

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-12\sqrt{5}+9}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}\)

\(A=\sqrt{1}\)

\(A=1\)

\(B=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right).\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(3+2\sqrt{6}+2\right).\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{3-2\sqrt{6}+2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2.\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2.\left(49-20\sqrt{6}\right).\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{9\sqrt{33}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right).\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right).\left(49-20\sqrt{6}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{\left(3-2\right).\left(49\sqrt{3}-60\sqrt{2}+49\sqrt{2}-40\sqrt{3}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=\frac{1.\left(9\sqrt{3}-11\sqrt{2}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(B=1\)

a) Ta có: \(\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-12\sqrt{5}+9}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{5}-3\right|=2\sqrt{5}-3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}=\sqrt{3-\left(2\sqrt{5}-3\right)}=\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}\)

\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=\sqrt{1}=1\)( đpcm )

kẻ đường cao AH ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

AD và AE là hai tia phân giác cả hai góc kề bù => AD _|_ AE

AH là đường cao của tam giác vuông ADE ta có

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AE^2}\)

vậy \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{AE^2}\)