\(M=\frac{x^2}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}-1\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\le1\)

\(\Leftrightarrow M\le1\)

Vậy  \(M_{max}=1\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(x^3-6x^2+10x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-4x^2\right)-\left(2x^2-8x\right)+\left(2x-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-4\right)-2x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x+2=0\\x-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=-1\left(vn\right)\\x=4\end{cases}}\Leftrightarrow x=4\)(vn : vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : \(x=4\)

735654634T3264T264T2T3645423R23B636473

a) Xét \(\Delta BAC\)có phân giác BD (giả thiết).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\)(tính chất).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC+BA}=\frac{AD}{CD+AD}=\frac{AD}{AC}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{6}{10+6}=\frac{AD}{8}\)(thay số).

\(\Rightarrow\frac{6}{16}=\frac{AD}{8}\)

\(\Rightarrow AD=\frac{6}{16}.8=\frac{3}{8}.8=3\left(cm\right)\)

Do đó \(CD=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AD=3cm,CD=5cm\)

ta có

\(\frac{x^2}{x-1}\)\(=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}+2\)

áp dụng bất đẳng thức AM-GM với các số thực dương ta có

\(\left(x-1\right)+\frac{1}{x-1}\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\frac{1}{x-1}=2}\)

dấu "=" xảy ra khi

\(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\)

\(\left(x-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow p\ge2+2=4\)

VẬY MINP là 

\(4\Leftrightarrow x=1\)

cảm ơn nhé nhưng còn cách khác không vì mình cũng làm giống như này :P

a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 90⁰ + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP

Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)

Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:

\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)

\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)

\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)

\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)

\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)

nhìn khó ghê nha

khó vãi nhỉ

x³ - x² - x = 0

<=> x( x² - x - 1 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x² - x - 1 = 0

+) x² - x - 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 1 + 4 = 5

Δ > 0, áp dụng công thức nghiệm thu được \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Vậy ...

\(5+\frac{8}{x^2-4}=\frac{2x-1}{x+2}-\frac{3x-1}{2-x}\left(ĐKXĐ:x\ne\pm2\right)\)

\(\Leftrightarrow5+\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{2x-1}{x+2}+\frac{3x-1}{x-2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)\(=\frac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{\left(3x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow5\left(x-2\right)\left(x+2\right)+8=\)\(\left(2x-1\right)\left(x-2\right)+\left(3x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2-4\right)+8=2x^2-4x-x+2\)\(+3x^2+6x-x-2\)

\(\Leftrightarrow5x^2-20+8=\)\(5x^2\)

\(\Leftrightarrow-12=5x^2-5x^2\)

\(\Leftrightarrow0=-12\)(vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.