Bài 6:

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔAHB~ΔBCD

b: Xét ΔHDA vuông tại H và ΔADB vuông tại A có

\(\widehat{HDA}\) chung

Do đó: ΔHDA~ΔADB

=>\(\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DA}{DB}\)

=>\(DA^2=DH\cdot DB\)

c: Ta có: ΔADB vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD^2=3^2+4^2=25=5^2\)

=>BD=5(cm)

=>\(DH=\dfrac{DA^2}{DB}=\dfrac{3^2}{5}=1,8\left(cm\right)\)

ΔDHA vuông tại H

=>\(HD^2+HA^2=DA^2\)

=>\(HA^2+1,8^2=3^2\)

=>\(HA^2=2,4^2\)

=>HA=2,4(cm)

Bài 4:

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)(1)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

c: Xét ΔBAH có BI là phân giác

nên \(\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}\left(2\right)\)

Xét ΔBCA có BD là phân giác

nên \(\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{BC}{BA}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{DC}{DA}\)

=>\(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{DA}{DC}\)

c: Xét ΔBAC vuông tại A có \(BA^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(AD=3\left(cm\right)\)

ΔBAD vuông tại A

=>\(S_{BAD}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot3=9\left(cm^2\right)\)

ΔBAC vuông tại A

=>\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\left(cm^2\right)\)

\(S_{BAD}+S_{BDC}=S_{BAC}\)

=>\(S_{BDC}=24-9=15\left(cm^2\right)\)

B=2006^2024
B= ....6
=> B chia 5 dư 1
Có 2006 đồng dư với -1 (mod 223)
=> 2006^2024 đồng dư với (-1)^2024 = 1 (mod 223)
=> B chia 223 dư 1

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\neq \pm \frac{2}{3}$
Gọi biểu thức trên là $A$

\(A=\frac{3x+2}{(3x-2)(3x+2)}-\frac{3x-2}{(3x+2)(3x-2)}+\frac{3x-6}{9x^2-4}\\ =\frac{3x+2}{(3x-2)(3x+2)}-\frac{3x-2}{(3x+2)(3x-2)}+\frac{3x-6}{(3x-2)(3x+2)}\\ =\frac{3x+2-(3x-2)+(3x-6)}{(3x-2)(3x+2)}=\frac{3x-2}{(3x-2)(3x+2)}=\frac{1}{3x+2}\)

Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

concặc

 Ta có \(2006^{2024}=\left(7.286+4\right)^{2024}\) \(=7A+4^{2024}\). Do đó ta chỉ cần tìm số dư của \(4^{2024}\) khi chia cho 7.

 Để ý rằng: \(4^0\equiv1\left[7\right]\); \(4^1\equiv4\left[7\right]\); \(4^2\equiv2\left[7\right]\); \(4^3\equiv1\left[7\right]\); \(4^4\equiv4\left[7\right]\); \(4^5\equiv2\left[7\right]\)

 Do đó ta nảy sinh dự đoán rằng \(4^{3k+2}\equiv2\left[7\right]\left(k\inℕ\right)\). Ta sẽ chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp,

 Thật vậy, với \(k=0\) thì khẳng định đúng (theo như trên)

 Giả sử khẳng định đúng đến \(k=l\ge0\), khi đó \(4^{3l+2}\equiv2\left[7\right]\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(k=l+1\), tức là cm \(4^{3\left(l+1\right)+2}\equiv2\left[7\right]\)

 Thật vậy, ta có \(4^{3\left(l+1\right)+2}\equiv4^{3l+3+2}\equiv64.4^{3l+2}\equiv1.2\equiv2\left[7\right]\)

 Vậy khẳng định đúng với \(k=l+1\Rightarrow4^{3k+2}\equiv2\left[7\right]\)

 Vì vậy \(4^{2024}=4^{2022+2}=4^{3.674+2}\equiv2\left[7\right]\)

 Vậy số dư của phép chia \(2006^{2024}\) cho 7 là 2.

a: Xét ΔNHE vuông tại E và ΔNMH vuông tại H có

\(\widehat{HNE}\) chung

Do đó: ΔNHE~ΔNMH

=>\(\dfrac{NH}{NM}=\dfrac{NE}{NH}\)

=>\(NH^2=NE\cdot NM\left(1\right)\)

Xét ΔHFN vuông tại F và ΔPHN vuông tại H có

\(\widehat{HNF}\) chung

Do đó: ΔHFN~ΔPHN

=>\(\dfrac{NH}{NP}=\dfrac{NF}{NH}\)

=>\(NH^2=NP\cdot NF\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(NE\cdot NM=NP\cdot NF\)

b: Ta có: \(NE\cdot NM=NP\cdot NF\)

=>\(\dfrac{NE}{NP}=\dfrac{NF}{NM}\)

Xét ΔNEF và ΔNPM có

\(\dfrac{NE}{NP}=\dfrac{NF}{NM}\)

\(\widehat{ENF}\) chung

Do đó: ΔNEF~ΔNPM

=>\(\widehat{NEF}=\widehat{NPM}\)

c: ta có: \(\widehat{NEF}=\widehat{NPM}\)

mà \(\widehat{NEF}=\widehat{KEM}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{KEM}=\widehat{KPN}\)

Xét ΔKEM và ΔKPF có

\(\widehat{KEM}=\widehat{KPF}\)

\(\widehat{EKM}\) chung

Do đó: ΔKEM~ΔKPF

=>\(\dfrac{KE}{KP}=\dfrac{KM}{KF}\)

=>\(KE\cdot KF=KM\cdot KP\)

Pt: \(\dfrac{3}{x^2+x+1}+\dfrac{4}{x^2+x+2}-\dfrac{6}{x^2+x+4}=1\) (*)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+1\ne0\\x^2+x+2\ne0\\x^2+x+4\ne0\end{matrix}\right.\)(luôn đúng)

Đặt: \(x^2+x+2=t\ge\dfrac{7}{4}\)

(*) trở thành:

\(\dfrac{3}{t-1}+\dfrac{4}{t}-\dfrac{6}{t+2}=1\)  

\(\Leftrightarrow\dfrac{3t\left(t+2\right)}{t\left(t-1\right)\left(t+2\right)}+\dfrac{4\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{t\left(t-1\right)\left(t+2\right)}-\dfrac{6t\left(t-1\right)}{t\left(t-1\right)\left(t+2\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow3t\left(t+2\right)+4\left(t-1\right)\left(t+2\right)-6t\left(t-1\right)=t\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)

\(\Leftrightarrow3t^2+6t+4\left(t^2+t-2\right)-6t^2+6t=t\left(t^2+t-2\right)\)

\(\Leftrightarrow-3t^2+12t+4t^2+4t-8=t^3+t^2-2t\)

\(\Leftrightarrow t^2+16t-8=t^3+t^2-2t\)

\(\Leftrightarrow t^3-18t+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2+4t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\left(tm\right)\\t=\sqrt{6}-2\left(ktm\right)\\t=-\sqrt{6}-2\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+x+2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: ... 

Có tất cả số cây bút là: \(5+3+4+2=14\) (cây)

Có 2 cây bút tím 

\(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}\)

Tổng số cây bút màu cam và màu xanh là: \(3+4=7\) (cây)

\(\Rightarrow P\left(B\right)=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}\)

Tổng số cây bút không phải màu vàng là: \(14-5=9\) (cây)

\(\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{9}{14}\)

Có 5 cây bút màu vàng

\(\Rightarrow P\left(D\right)=\dfrac{5}{14}\)