Gọi tỉ lệ cắt giảm mỗi năm của công ty là \(x\left(\%\right)\) hay \(\dfrac{x}{100}\) với \(0\le x\le100\)

Số công nhân còn lại sau năm thứ nhất là:

\(10000\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\)

Số công nhân còn lại sau năm thứ hai là:

\(10000.\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=10000.\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2\)

Do sau 2 năm công ty còn lại 9000 công nhân nên:

\(10000\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^2=9000\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow x=100-30\sqrt{10}\) (%)\(\approx5,13\left(\%\right)\)

a. 

- Với \(y\ge0\Rightarrow x^2+2y\ge0\) với mọi x \(\Rightarrow\) hệ vô nghiệm do \(-2< 0\)

- Với \(y< 0\Rightarrow\left|y\right|=-y\), hệ tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\3x^2-y=15\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\6x^2-2y=30\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y=-2\\7x^2=28\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=4\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

b.

Gọi số chính phương cần tìm là \(n^2\) với n là số tự nhiên, do \(n^2\) có 4 chữ số

\(\Rightarrow999< n^2< 10000\Rightarrow31< n< 100\)

Do khi cộng số cần tìm với 2023 ta cũng được 1 SCP

\(\Rightarrow n^2+2023=m^2\) (với m tự nhiên và \(m>n\))

\(\Rightarrow m^2-n^2=2023\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)\left(m+n\right)=2023\) 

Ta chỉ cần xét các cặp ước của 2023 mà \(m+n>m-n\)

Do \(31< n< 100\) nên chỉ có \(n=51\) thỏa mãn

Vậy số cần tìm là \(51^2=2601\)

2\(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{4+x^2}\) = 0    vì 4 + \(x^2\) ≥ 0 ∀ \(x\) vậy \(\sqrt{4+x^2}\) có nghĩa với ∀\(x\)

2\(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{4+x^2}\) = 0

          \(\sqrt{4+x^2}\)  = 2\(\sqrt{3}\)

           4 + \(x^2\)   = 12

                \(x^2\)      = 12 - 4

                \(x^2\)      = 8

               \(\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{8}\\x=\sqrt{8}\end{matrix}\right.\)

               \(\left[{}\begin{matrix}x=-2\sqrt{2}\\x=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

                \(\left[{}\begin{matrix}x=-2\sqrt{2}\\x=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh tam giác ABH vuông tại H và \(DH\perp AB\) rồi dùng hệ thức lượng \(\Rightarrow AD.AB=AH^2\). Tương tự, ta có \(AM.AC=AH^2\). Do đó \(AD.AB=AM.AC\) và theo bổ đề quen thuộc thì tứ giác BCMD nội tiếp. (đpcm)

b) Gọi Q là giao điểm của DM và AI. Khi đó tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI nên \(IA=IB=IC=\dfrac{BC}{2}\) hay tam giác IBA cân tại I, suy ra \(\widehat{B}=\widehat{DAQ}\).

 Lại có \(\widehat{B}+\widehat{ACB}=90^o\) suy ra \(\widehat{DAQ}+\widehat{ADQ}=90^o\) (do \(\widehat{ADQ}=\widehat{ACB}\) (cmt)). Do đó \(PQ\perp AI\) tại Q. Từ đó dễ dàng chứng minh O là trực tâm tam giác AIP.

 c) Do tứ giác BCMD nội tiếp nên \(PM.PD=PC.PB\) \(\Rightarrow P_{P/\left(O\right)}=P_{P/\left(I\right)}\) \(\Rightarrow\) P nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I). Lại có AE chính là trục đẳng phương của (O) và (I) nên A, E, P thẳng hàng. (đpcm)

 d) Ta thấy SO//AB \(\perp AC\) và \(AH\perp BC\) nên O là trực tâm tam giác ASC \(\Rightarrow OC\perp AS\)

 Lại có OC//KR nên \(RK\perp SA\) (đpcm)

 Ở bài này chứng minh được \(A\in\left(I\right)\) vì BC là đường kính của (I) và \(\widehat{BAC}=90^o\)

Gọi x (đồng) là giá niêm yết của tivi (x > 0)

⇒ 24000000 - x (đồng) là giá niêm yết của máy lạnh

Giá tivi sau khi giảm:

x - 0,1x = 0,9x (đồng)

Giá máy lạnh sau khi giảm:

24000000 - x - (24000000 - x).0,25 = 24000000 - x - 6000000 + 0,25x = 18000000 - 0,75x (đồng)

Theo đề bài ta có phương trình:

0,9x + 18000000 - 0,75x = 20250000

⇔ 0,15x = 20250000 - 18000000

⇔ 0,15x = 2250000 (đồng)

⇔ x = 2250000 : 0,15

⇔ x = 15000000 (nhận)

Vậy giá niêm yết của tivi là 15000000

Giá niêm yết của máy lạnh là 24000000 - 15000000 = 9000000 (đồng)

Gọi x (đồng) là giá niêm yết của tivi (x > 0)

⇒ 24000000 - x (đồng) là giá niêm yết của máy lạnh

Giá tivi sau khi giảm:

x - 0,1x = 0,9x (đồng)

Giá máy lạnh sau khi giảm:

24000000 - x - (24000000 - x).0,25 = 24000000 - x - 6000000 + 0,25x = 18000000 - 0,75x (đồng)

Theo đề bài ta có phương trình:

0,9x + 18000000 - 0,75x = 20250000

⇔ 0,15x = 20250000 - 18000000

⇔ 0,15x = 2250000 (đồng)

⇔ x = 2250000 : 0,15

⇔ x = 15000000 (nhận)

Vậy giá niêm yết của tivi là 15000000

Giá niêm yết của máy lạnh là 24000000 - 15000000 = 9000000 (đồng)

 Gọi Q là giao điểm của PA và (O₂). Do \(\widehat{O_1AP}=\widehat{O_1PA}=\widehat{O_2PQ}=\widehat{O_2QP}\) nên O₁A//O₂Q

 Mặt khác, \(BC\perp O_1A\) (vì BC là tiếp tuyến tại A của (O₁) nên \(BC\perp O_2Q\)

 \(\Rightarrow\) Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC 

 \(\Rightarrow\) PQ là tia phân giác \(\widehat{BPC}\) \(\Rightarrow\) đpcm