Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi d là ƯC(12n+1,30n+2). Ta có :
( 12n + 1 ) d => 5.( 12n + 1) d hay ( 30n + 5 ) d
( 30n + 2 ) d => 2 . ( 30n + 2 ) d hay ( 30n + 4 ) d
=> ( 30n + 5 ) - ( 30n + 4 ) = 1
=> d = 1
Vậy : là phân số tối giản
Ta có : \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản <=> ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) \(\in\) {1; -1}
Gọi ƯCLN(12n + 1; 30n + 2) là d
=> \(12n+1⋮d\) => \(5\left(12n+1\right)⋮d\) => \(60n+5⋮d\)
\(30n+2⋮d\) \(2\left(30n+2\right)⋮d\) \(60n+4⋮d\)
=> (60n + 5) - (60n + 4) = 1 \(⋮\)d => d \(\in\){1; -1}
Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)tối giản
Ta có 99=11.9
B chia hết cho 99 => B chia hế cho 11và B chia hết cho 99
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9
=> (x+y+3) chia hết cho 9 => x+y=6 hoặc x+y =15
• B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427
Ta có :
B⋮99⇒B⋮9,11B⋮99⇒B⋮9,11 (do 99=BCNN(9,11)99=BCNN(9,11)
⇔6+2+x+y+4+2+7⋮9⇔6+2+x+y+4+2+7⋮9
⇔21+x+y⋮99⇔21+x+y⋮99
⇔x+y∈{6;15}⇔x+y∈{6;15}
+) B⋮11⇔(6+x+4+7)−(2+y+2)⋮11B⋮11⇔(6+x+4+7)−(2+y+2)⋮11
⇔(17+x)−(4+y)⋮11⇔(17+x)−(4+y)⋮11
⇔13+x−y⋮11⇔13+x−y⋮11
⇔13+(x−y)⋮11⇔13+(x−y)⋮11
⇔x−y∈{9;−2}⇔x−y∈{9;−2}
+) x−y=9⇔x=9;y=0x−y=9⇔x=9;y=0 (loại)
+) x−y=−2;x+y∈{6;15}→x−y=−2;x+y∈{6;15}→ (loại)
+) x+y=6⇒x=2;y=4x+y=6⇒x=2;y=4 (TM)
Vậy x=2;y=4
Đ/K : \(n\ne\frac{1}{2}\)
Để \(4n-5⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow4n-2-3⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow2\left(2n-1\right)-3⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow3⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow2n-1\inƯ\left(3\right)\)
\(\Leftrightarrow2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
\(\Leftrightarrow2n\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
\(\Leftrightarrow n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)
Mà \(n\in N\)
\(\Rightarrow n\in\left\{1;0;2\right\}\)
Vậy \(n\in\left\{1;0;2\right\}\)
~ Ủng hộ nha
\(4n-5⋮2n-1\)
\(4n-1-4⋮2n-1\)
Mà \(4n-1⋮2n-1\Rightarrow4⋮2n-1\)
\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4;-1;-2;-4\right\}\)
Ta có bảng :
2n-5 | 1 | 2 | 4 | -1 | -2 | -4 |
n | 3 | 3,5 | 4,5 | 2 | 1,5 | 0,5 |
Mà n là số tự nhiên => n thuôc {3; 2 }
Vậy, ......
[ 153 + ( -76 )] - [ -176 - ( -152 )]
= ( 153 - 76 ) - ( -176 + 152 )
= 77 - ( -24 )
= 77 + 24
= 101
100,1 < 6x + x6 < 111,1
=> 100,1 < 11 . (x + 6) < 111,1
=> 9 < x + 6 < 11
=> x + 6 = 10
=> x = 10 - 6
=> x = 4
Kb đi :vv
\(\Leftrightarrow100,1< 60+x+10x+6< 111,1\)
\(\Leftrightarrow100,1< 66+11x< 111,1\)
\(\Leftrightarrow100,1< 11\left(6+x\right)< 111,1\)
\(\Leftrightarrow9< 6+x< 11\)
\(\Leftrightarrow3< x< 5\)
\(\Rightarrow x=4\)
\(xy-x-y=12\)
\(\Rightarrow x\left(y-1\right)-y+1=12+1=13\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=13\)
Vậy (x-1);(y-1) thuộc Ư(13)
Ta có bảng sau :
x-1 | 13 | 1 | -13 | -1 |
y-1 | 1 | 13 | -1 | -13 |
x | 14 | 2 | -12 | 0 |
y | 2 | 14 | 0 | -12 |
Vậy .............................
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}\right)\times\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)\times\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\right)\times\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{14}\times\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
\(\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}\right).\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}\right).\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right).\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{7}\right).\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{7}{14}-\frac{2}{14}\right).\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\frac{5}{14}.\frac{x}{3}=\frac{5}{21}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{5}{21}:\frac{5}{14}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow x=2\)
Vậy \(x=2\)
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=z\)
\(\Rightarrow x+y=xyz\)
\(\Rightarrow xyz-z-y=0\)
\(\Rightarrow y\left(xz-1\right)=z\)
\(\Rightarrow xy\left(xz-1\right)-1=xz-1\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left(xz-1\right)=1\)
Ta có bảng sau :
xy-1 | 1 | -1 | ||
xz-1 | 1 | -1 | ||
xy | 2 | 0 | ||
xz | 2 | 0 |
Với x.y = 2=>(x;y) thuộc (1;2);(2;1)
Với x.y = 0 .Xét x = 0=> y tùy ý;Xét y=0=>x tùy ý
Với x.z = 2=>(x;y) thuộc (1;2);(2;1)
Với x.z = 0 .Xét x = 0=> z tùy ý;Xét z=0=>x tùy ý
Vậy............................
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(A< 1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)
vậy A < 1
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{100}< 1\left(đpcm\right)\)
Ủng hộ nha !