với x >= 0 ; x khác 1 

\(=\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{x\sqrt{x}-1}=\frac{x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Answer:

Với \(x\ne1;x\ge0\) có: 

\(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}\)\(+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{x+2+\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

gfvfvfvfvfvfvfv555

Ta có:\(\overline{acb}+\overline{cab}=2\cdot\overline{abc}\left(b>c\right)\)

*Xét trường hợp a:

\(\overline{a}+\overline{c}=2\cdot\overline{a}\Rightarrow\overline{a}=\overline{c}\)

Mà trường hợp này \(\overline{a,b,c}\)phải là số đôi một khác nhau nên a,b,c không có giá trị nào thỏa mãn

a. A = 100² - 99²+ 98² - 97² + ... + 2² - 1²

A = ( 100² - 99² ) + ( 98² - 97² ) + ... + ( 2² - 1² )

A = ( 100 - 99 )(100 + 99 ) + (98 - 97 )(98 + 97) + ... + (2-1)(2+1)

A = 199 + 195 + .... + 3

Tổng A có ss hạng là:

( 199 - 3 ) : 4 + 1 = 50 ( số )

Tổng A bằng:

( 199 + 3 ) x 50 : 2 = 5050

c. C = (a + b + c)² + (a + b - c)² - 2(a + b)²

C = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac - 2(a² + 2ab + b²)

C = 2a² + 2b² + 2c² + 4ab - 2a²  -4ab - 2b²

C = 2c²

b. B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) ... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1) ... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = ( 2⁴ - 1)(2⁴ + 1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁸ - 1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁸ - 1)(2⁸+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2³² - 1)(2³²+1)... (2⁶⁴ + 1) + 1²

B = (2⁶⁴ - 1)(2⁶⁴ +1)+1

B = 2¹²⁸ - 1 + 1

B = 2¹²⁸

=10198603.91304348 nhé

không cần đk là a,b,c là số thực cũng được @@

Sử dụng bất đẳng thức phụ x2+y2≥2xyx2+y2≥2xy

chứng minh : x2+y2≥2xy<=>(x−y)2≥0x2+y2≥2xy<=>(x−y)2≥0*đúng*

Áp dụng vào bài toán ta được :

2.LHS≥ab+bc+ca+ab+bc+ca=2(ab+bc+ca)2.LHS≥ab+bc+ca+ab+bc+ca=2(ab+bc+ca)

<=>LHS≥ab+bc+ca<=>LHS≥ab+bc+ca

Dấu = xảy ra <=>a=b=c

\(a^2+b^2\ge ab+bc+ca.\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

2 biến giải kiểu gì?

Sửa đề: \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+9=x\left(x^2+2\right)\)

<=> \(x^3+3x^2+2x+9=x^3+2x\)

<=> \(3x^2=-9\)

Vì \(3x^2\ge0\forall x\)

Mà \(3x^2=-9\) (vô lí)

=> \(x\in\varnothing\)

\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)

\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)

\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)

Đặt \(xy=t\)

\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{t}+t}\)

Ta có :

\(1>x+y>2\sqrt{xy}\)

\(\rightarrow\sqrt{xy}< \frac{1}{2}\)

\(\rightarrow xy< \frac{1}{4}\)

\(\rightarrow t< \frac{1}{4}\)

Lại có :

\(\frac{1}{t}+t=\frac{15}{16t}+\left(\frac{1}{16}+t\right)\)

\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{15}{16.\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{16}.t}\)

\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{17}{4}\)

\(\rightarrow B>2.\sqrt{\frac{17}{4}}\)

\(\rightarrow B>\sqrt{17}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Không vẽ hình vì sợ duyệt.

Kẻ đường phân giác AD của \(\Delta ABC\).

Dễ thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\widehat{B}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta ABD\)cân tại D \(\Rightarrow AD=BD\)

\(\Delta CAD\)và \(\Delta CBA\)có:

\(\widehat{C}\)chung và \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\left(=\frac{\widehat{BAC}}{2}\right)\)\(\Rightarrow\Delta CAD~\Delta CBA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AC^2=BC.CD\\AB.AC=BC.AD=BC.BD\left(AD=BD\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AC^2+AB.AC=BC.CD+BC.BD\)\(=BC\left(CD+BD\right)\)\(=BC.BC\)\(=BC^2\)

Ta có đpcm.