`Answer:`

Gọi `AM; BN; CD` là các đường trung tuyến của `\triangleABC` cắt nhau tại `G`

Tính chất của trọng tâm `G` trong `\triangle`: Điểm `G` cách đỉnh một khoảng `=2/3` độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đấy.

Ta có: \(BG=\frac{2}{3}BN\Rightarrow BN=BG:\frac{2}{3}=15:\frac{2}{3}=22,5cm\)

#Lam123fk
CHÚC BẠN HỌC TỐT

bạn tham khảo nhé!

`Answer:`

Trường hợp 1:  Nếu `x>=1` thì: \(x^{2016}\ge x^{2015};x^2\ge x\)

\(\Rightarrow x^{2016}-x^{2015}+x^2-x+1\ge1\forall x\ge1\)

`=>` Vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu `x<=0` thì: \(-x^{2015}\ge0;-x\ge0\)

`=>` Vô nghiệm

Trường hợp 3: Nếu `0<x<1`, giả dụ đa thức trên có nghiệm:

\(x^{2016}-x^{2015}+x^2-x+1=0\text{(*)}\)

\(\Rightarrow x^{2015}-x^{2014}+x-1+\frac{1}{x}=0\text{(**)}\)

Ta cộng lần lượt hai vế của (*)(**), ta được:

\(x^{2016}-x^{2014}+x^2+\frac{1}{x}=0\)

\(\Rightarrow x^{2016}+x^2+\frac{1}{x}=x^{2014}\left(***\right)\)

Điều này vô lí bởi với `0<x<1<=>x^2>x^2014`

\(x^{2016}>0;\frac{1}{x}>0\)

\(\Rightarrow x^{2016}+x^2+\frac{1}{x}>x^{2014}\)

\(x^2+6x+7=0\)

\(\text{∆}=6^2-4.7\)

\(=36-28=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-6-\sqrt{8}}{2}=-3-\sqrt{2}\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{8}}{2}=-3+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Bạn tham khảo nhé!

-Áp dụng BĐT trong tam giác ta có:

AG+BG>AB;BG+CG>BC;CG+AG>CA

-Cộng các vế với nhau ta được:

2(AG+BG+CG)>AB+AC+BC

⇒2.2/3(AE+BF+CD)>AB+AC+BC

⇒AE+BF+CD>3/4 AB+AC+BC

Gọi ba trung tuyến lần lượt là \(AM,BN,CK\). Chúng cắt nhau tại điểm \(G\).

- Chứng minh \(\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)< m_a+m_b+m_c\).

Xét tam giác \(ABG\)có: 

\(AB< AG+BG\)(theo bất đẳng thức tam giác)

Tương tự ta cũng có: \(AC< AG+CG,BC< BG+CG\).

Suy ra \(AB+AC+BC< 2\left(AG+BG+CG\right)=2.\frac{2}{3}\left(AM+BN+CK\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)< m_a+m_b+m_c\).

- Chứng minh: \(m_a+m_b+m_c< a+b+c\).

Dựng hình bình hành \(ABA'C\).

Xét tam giác \(ABA'\): 

\(AA'< AB+BK\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(theo bất đẳng thức tam giác) 

Tương tự ta cũng có: \(2BN< BA+BC,2CK< CA+CB\)

Suy ra \(2\left(AM+BN+CK\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\)

\(\Leftrightarrow m_a+m_b+m_c< a+b+c\).

Ta suy ra đpcm.