\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\left(a,b,c>0\right)\).

Với \(a,b>0\), ta có:

\(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1\ge a\).

\(\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\).

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^4-a^3+ab+2}\ge\sqrt{ab+a+1}\).

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\left(1\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\).

Chứng minh tương tự (với \(b,c>0\)), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\).

Chứng minh tương tự (với \(a,c>0\)), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+a+1}}\left(3\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\left(4\right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 3 số, ta được:

\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+1.\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le\)\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\)\(\left[\frac{1}{\left(\sqrt{ab+a+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{bc+b+1}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{ca+c+1}\right)^2}\right]\).

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\)\(\le3\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)\).

Ta có:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{abc}{bc+b+abc}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).

\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{abc}{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{1}{ca+c+1}\)(vì \(abc=1\)).

\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{1+ac+c}=1\).

Do đó:

\(\left(\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\right)^2\le3.1=3\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\le\sqrt{3}\left(5\right)\).

Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:

\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\)\(\sqrt{3}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\)\(\le\sqrt{3}\)với \(a,b,c>0\)và \(abc=1\).

\(+2\)nhé, không phải \(-2\)đâu.

Ta có : \(P=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-x}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{-1}{x-1}\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{x-1}=2017\Rightarrow2017x-2017=-1\Leftrightarrow x=\frac{2016}{2017}\)

*Đã hơn 3 ngày mà vẫn chưa có lời giải :(

\(ĐK:x\ne0;y\ne0\)

Với pt(1) : Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

Mặt khác : \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2=\left(t^2-2\right)^2\Rightarrow\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}+2=t^4-4t^2+4\)

Từ đó \(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=t^4-4t^2+2\)

Theo AM_GM có \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\Leftrightarrow t^2\ge4\Leftrightarrow|t|\ge2\)

Ta có VT của pt (1) : \(g\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4,|t|\ge2\)

Có \(g'\left(t\right)=2t\left(2t^2-5\right)+1\)

Nhận xét :

+ \(t\ge2\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\ge4\left(8-5\right)>0\Rightarrow g'\left(t\right)>0\)

+ \(t\le-2\Rightarrow2t\le-4;2t^2-5\ge3\Rightarrow-2t\left(2t^2-5\right)\ge12\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\le-12\Rightarrow g'\left(t\right)< 0\)

Lập BBT có giá trị nhỏ nhất của g(t)= -2 đạt được tại t= -2 

Vậy từ pt(1) có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2\left(.\right)\)

Đặt  \(a=\frac{x}{y}\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{1}{a},a\ne0\)

Lúc đó pt (.) \(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=-2\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=-1\Leftrightarrow x=-y\)

Thay \(x=-y\)vào pt(2) có :

\(x^6+x^2-8x+6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4+2x^3+3x^2+4x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[x^2\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)^2+4\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy HPT có duy nhất 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)

Em lớp 7 anh(chị) ạ

1+2+2+5+7+8+9+2+1

A B M P O H I N

c/

1/ Xét \(\Delta PMI\) và \(\Delta PBM\) có

\(\widehat{BPM}\) chung

\(sđ\widehat{IMP}=\frac{1}{2}sđ\) cung MI (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{PBM}=\frac{1}{2}sđ\)cung MI (Góc nội tiếp đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{IMP}=\widehat{PBM}\)

\(\Rightarrow\Delta PMI\) đồng dạng \(\Delta PBM\) (g.g.g) \(\Rightarrow\frac{PI}{PM}=\frac{PM}{PB}\Rightarrow PI.PB=PM^2\left(dpcm\right)\)

2/ Ta có

\(AB\perp PO\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ở ngoài đường tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với đường nối 2 tiếp điểm)

Xét tg vuông PMO

\(PH.PO=PM^2\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (đpcm)

3/

Ta có:  \(\left(y^2-y\right)+2\ge0\Rightarrow2y^3\le y^4+y^2\)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x^2+y^2\right)+\left(y^4+x^3\right)\)

Mà \(x^3+y^4\le x^2+y^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\left(1\right)\)

Lại có: \(x\left(x-1\right)^2\ge0;y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)^2+y\left(y+1\right)\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^3-2x^2+x+y^4-y^3-y^2+y\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^3\right)\le\left(x+y\right)+\left(x^3+y^4\right)\)

Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\left(2\right)\)

Và \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\ge0;\left(y-1\right)\left(y^3-1\right)\ge0\)

\(x^3-x^2-x+1+y^4-y-y^3+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(x^2+y^3\right)\le2+\left(x^3+y^4\right)\)

Mà \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)

\(\Rightarrow x+y\le2\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

Đổi: \(20'=\frac{1}{3}h\).

Khi nhân viên bắt đầu đi thì đoàn khách đã đi được: \(15\times\frac{1}{3}=5\left(km\right)\)

Mỗi giờ lễ tân đi nhanh hơn đoàn khách: \(45-15=30\left(km\right)\)

Để đuổi kịp nhân viên hết: \(5\div30=\frac{1}{6}\left(h\right)\)

Đổi: \(\frac{1}{6}h=10'\).

Nhân viên đuổi kịp đoàn khách lúc: \(6h45'+20'+10'=7h15'\).

Ta có: 

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c},\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\).

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\Rightarrow a+b+c=0\)do đó không xảy ra dấu \(=\).

\(x^2-xy+y^2=\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\sqrt{x^2-xz+z^2}=\frac{1}{2}\left(x+z\right)\)

Suy ra \(\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x^2-xz+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(2x+y+z\right)=1\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\).