mình chép ra giấy

\(A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\)

\(A^2=8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2\sqrt{64-4\left(10+2\sqrt{5}\right)}+8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)

\(=16+2\sqrt{24-2.2.2\sqrt{5}}=16+2\sqrt{\left(2\sqrt{5}-2\right)^2}\)

\(=16+2\left(2\sqrt{5}-2\right)=16+4\sqrt{5}-4=12+4\sqrt{5}\)

Vậy \(A=\sqrt{12+4\sqrt{5}}=\sqrt{4.3+4\sqrt{5}}=2\sqrt{3+\sqrt{5}}\)

Gọi chiều rộng là a (cm) (a > 0)

=> Chiều dài là \(\frac{370}{a}\)(cm) ; \(\frac{370}{a}>7\Rightarrow a>\frac{370}{7}\)

Theo bài ra ta có : \(a+3=\frac{370}{a}-7\)

=> \(\frac{370}{a}-a=10\)

 => \(\frac{370-a^2}{a}=\frac{10a}{a}\)

=> 370 - a² = 10a

<=> a² + 10a - 370 = 0

<=> \(\left(a+5-\sqrt{395}\right)\left(a+5+\sqrt{395}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=\sqrt{395}-5\left(tm\right)\\a=-\sqrt{395}-5\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Khi đó chu vi hình chữ nhật là \(2\left(\sqrt{395}-5+\frac{370}{\sqrt{395}-5}\right)\)

có a≥1348,b≥1348a≥1348,b≥1348=>ab=13482=>ab=13482

và a+b≥2696=>2022(a+b)≥5451312a+b≥2696=>2022(a+b)≥5451312

áp dụng BDT Cô si=>a2+b2+ab≥3ab=3.13482=5451312a2+b2+ab≥3ab=3.13482=5451312

=>a2+b2+ab−2022(a+b)≥5451312−5451312=0=>a2+b2+ab−2022(a+b)≥5451312−5451312=0

=>a2+b2+ab≥2022(a+b)=>a2+b2+ab≥2022(a+b). Dấu'=' xảy ra<=>a=b=1348

Ta có:

Giả sử p là số nguyên tố. \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow pa^2+pb^2=a^2b^2\)'

Gọi: d=(a,b) khi đó: a=da';b=db' (với (a',b')=1).

Thay vào ta được: 

\(pa'^2+pb'^2=d^2a'^2b'^2\). Từ đây suy ra: \(pa'^2\)sẽ chia hết cho \(b'^2\). Mà (a',b')=1 nên( a'²,b'²)=1 hay p chia hết cho b'^2 mà p là số nguyên tố nên: b'=1 tương tự thì a'=1 thay vào lại giả thiết ta được: \(\frac{2}{d^2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow2p=d^2\). Từ đây suy ra d² chia hết cho 2 hay d chia hết cho 2 nên d² chia hết cho 4 suy ra 2p chia hết cho 4 từ đây thì: p=2. Thử lại với a=b=2;p=2 thì vẫn thỏa mãn nên bạn kiểm tra lại đề.

2x² - 1 = 5

=> 2x² - 6 = 0

=> x² - 3 =0

=> \(\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\end{cases}}\)

Vậy x = \(\pm\sqrt{3}\)là nghiệm phương trình

2x² - 1 = 5 => 2x² - 6 = 0 => x² - 3 = 0 => \(\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{\sqrt{3};-\sqrt{3}\right\}\).

Điều kiện: \(x\ge-2\)

\(\sqrt{x+2}=2\Leftrightarrow x+2=2^2=4\Leftrightarrow x=2\)(thỏa mãn đkxđ).

Vậy: x=2.