Cho P = (1-\(\dfrac{1}{1+2}\)) (1- \(\dfrac{1}{1+2+3}\)) … ( 1 -\(\dfrac{1}{1+2+...+n}\) ) . Tìm các số tự nhiên n \(\text{≥}\) 2 để \(\dfrac{1}{P}\) là số nguyên.
Giúp mình giải bài này với ạ!!!!
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{a}{ab+a+b+a^2}+\dfrac{b}{ab+a+b+b^2}\)
\(=\dfrac{a}{\left(a+b\right).\left(a+1\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right).\left(b+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right).\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}=\dfrac{ab+1}{\left(a+b\right).\left(ab+a+b+1\right)}\)
\(=\dfrac{ab+1}{2.\left(a+b\right)}\)(1)
\(VP=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{ab+1}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2.\left(a+1\right).\left(b+1\right)}}\)
\(=\dfrac{ab+1}{2\left(a+b\right)}\) (2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
Giải
Với a,b > 0, ta có:
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)
Tương đương
\(\dfrac{a+ab^2+b+a^2b}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b+ab\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1+ab}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác, \(\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)=\left(a^2+a+b+ab\right)\left(b^2+a+b+ab\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b\right)\left(b+1\right)\\ =\left(a+b\right)^2\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\right]\\ =\left(a+b\right)^2\left(a+b+ab+1\right)\\ =2\left(a+b\right)^2\)
Do đó phương trình đã cho tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)}{\sqrt{2}.\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a,b>0\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)
Vì phương trình (1) đúng nên phương trình ban đầu cũng đúng
Suy ra điều phải chứng minh
Ta có \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+2.x.\dfrac{1}{x}=9\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}=3\) (Do x > 0) (1)
Từ (1) \(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=27\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+3.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)
Ta lại có \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}=243\)
\(\Leftrightarrow F=x^5+\dfrac{1}{x^5}=243-5.\left(\dfrac{1}{x^3}+x^3\right)-10.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=123\)
Bài này có rất nhiều lời giải tương tự chỉ thay số thôi em
Vẽ hình
Tính diện tích 4 tam giác
MNPQ = ABCD - S4 tam giác
IC = \(\dfrac{1}{2}\)BC (vì trong tam giác đều đường cao cũng là trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác của tam giác đó).
IC = 6 \(\times\) \(\dfrac{1}{2}\) = 3 (cm)
Xét \(\Delta\)AIC vuông tại C nên theo pytago ta có:
AI2 = AC2 - IC2 = 62 - 32 = 27 (cm)
AI = \(\sqrt{27}\) = 3\(\sqrt{3}\)(cm)
Chọn A. 3\(\sqrt{3}\)cm
Tranh do học sinh được đồ họa bằng máy tính thì có được tham gia không cô?
Khuyến khích các em sáng tạo không giới hạn, nên các em có thể vẽ tranh bằng đồ họa máy tính nhé.
Diện tích hình vuông ban đầu là:
13 x 13 = 169 cm vuông
Cạnh hình vuông sau khi giảm là:
13 - 5 = 8 cm vuông
Diện tích hình vuông mới là: 8 x 8 = 64 cm vuông
diện tích hình vuông bị giảm đi là: 169 - 64 = 105 cm vuông
Diện tích hình vuông hiện tại là: 13 x 13 = 169 cm vuông
Cạnh hình vuông lúc sau là: 13 - 5 = 8 cm
Diện tích hình vuông lúc sau là: 8 x 8 = 64 cm vuông
Diện tích hình vuông giảm đi là: 169 - 64 = 105 cm vuông
Đề bài có sai không ạ? tại kết quả phải ra 1 số nguyên dương mà lại ra một kết quả có lẻ
các số mà ta có thể viết được: `99;92;97;93;29;22;27;23;79;72;77;73;39;32;37;33`
`=>` Ta viết được 16 chữ số
các số này ta viết được 16 số
99,92,97,93,29,27,23,22,,73,77,72,79
Lời giải:
Xét thừa số tổng quát:
\(1-\frac{1}{1+2+...+n}=\frac{(1+2+...+n)-1}{1+2+...+n}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}-1}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\)
Thay $n=2,3,....,$ ta được:
\(P=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}....\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}\)
\(=\frac{[1.2.3....(n-1)][4.5.6..(n+2)]}{(2.3.4..n)[3.4.5...(n+1)]}\)
\(=\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}=\frac{n+2}{3n}\)
\(\frac{1}{P}=\frac{3n}{n+2}\in\mathbb{Z}\) khi mà $3n\vdots n+2$
$\Leftrightarrow 3(n+2)-6\vdots n+2$
$\Leftrightarrow 6\vdots n+2$
$\Rightarrow n+2\in\left\{6\right\}$ (do $n+2\geq 4$ với mọi $n\geq 2$)
$\Rightarrow n=4$