a: \(H=\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{2}{a-4}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-1+\dfrac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)+\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)-2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\cdot\dfrac{a-4}{\sqrt{a}}\)

\(=\dfrac{a+3\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}+3\)

b: H=a+3

=>\(a+3=\sqrt{a}+3\)

=>\(a-\sqrt{a}=0\)

=>\(\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\sqrt{3x+2y+z}+\sqrt{3y+2z+x}+\sqrt{3z+2x+y}\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}.\left(2.\sqrt{6}.\sqrt{3x+2y+z}+2.\sqrt{6}.\sqrt{3y+2z+x}+2.\sqrt{6}.\sqrt{3z+2x+y}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\left(6+3x+2y+z+6+3y+2z+x+6+3z+2x+y\right)\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\left(6x+6y+6z+18\right)=\dfrac{36}{2\sqrt{6}}=3\sqrt{6}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)

mà \(\widehat{BFE}+\widehat{AFE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

b: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\left(=180^0-\widehat{FEC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

=>FE//Ax

=>IK//Ax

Xét (O) có

\(\widehat{xAK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AK

\(\widehat{AIK}\) là góc nội tiếp chắn cung AK

Do đó: \(\widehat{xAK}=\widehat{AIK}\)

mà \(\widehat{xAK}=\widehat{AKI}\)(IK//Ax)

nên \(\widehat{AIK}=\widehat{AKI}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{AK}=sđ\stackrel\frown{AI}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ACK}\) là góc nội tiếp chắn cung AK

\(\widehat{AKI}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

\(sđ\stackrel\frown{AK}=sđ\stackrel\frown{AI}\)

Do đó: \(\widehat{ACK}=\widehat{AKI}\)

Xét ΔACK và ΔAKE có

\(\widehat{ACK}=\widehat{AKE}\)

\(\widehat{CAK}\) chung

Do đó ΔACK~ΔAKE

=>\(\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{AK}{AE}\)

=>\(AK^2=AC\cdot AE\)

∆ = (2m + 1)² - 4.1.(m² + 3m)

= 4m² + 4m + 1 - 4m² - 12m

= -8m + 1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

⇔ -8m + 1 > 0

⇔ m < 1/8

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -(2m + 1)

x₁x₂ = m² + 3m

Q = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

= [-(2m + 1)]² - 2(m² + 3m)

= 4m² + 4m + 1 - 2m² - 6m

= 2m² - 2m + 1

= 2(m² - m + 1/2)

= 2(m² - 2.m.1/2 + 1/4 + 1/4)

= 2(m - 1/2)² + 1/2

Do (m - 1/2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 2(m - 1/2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 2(m - 1/2)² + 1/2 ≥ 1/2

⇒ Q nhỏ nhất là 1/2 khi m = 1/2 (không thỏa mãn m < 1/8)

Vậy không tìm được m để Q nhỏ nhất

                  Giải:

Gọi chiều dài là \(x\) (m); \(x\) > 0

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: 340 : 2 = 170 (m)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 170 - \(x\) (m)

Ba lần chiều dài của hình chữ nhật là: \(x\times\) 3 = 3\(x\) (m)

Bốn lần chiều rộng của hình chữ nhật là: (170 - \(x\)) \(\times\) 4 = 680 - 4\(x\)(m)

 Theo bài ra ta có phương trình:

             3\(x\) - (680 - 4\(x\)) = 20 

            3\(x\) - 680 + 4\(x\)  = 20

             7\(x\) - 680 = 20

            7\(x\)           = 20 + 680

            7\(x\)         = 700

              \(x\)        = 700 : 7

               \(x\)       = 100

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là: 100 m

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 170 - 100 = 70 (m)

Kết luận: Chiều dài của hình chữ nhật là 100 m

               Chiều rộng của hình chữ nhật là 70 m 

a: Gọi phương trình đường thẳng AB là (d): y=ax+b

Thay x=5 và y=2 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot5+b=2\)(1)

Thay x=3 và y=-4 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot3+b=-4\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}5a+b=2\\3a+b=-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=6\\5a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2-5a=2-5\cdot3=-13\end{matrix}\right.\)

Vậy: AB: y=3x-13

b: M thuộc trục hoành nên M(x;0)

M(x;0); A(5;2); B(3;-4)

\(MA=\sqrt{\left(5-x\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-5\right)^2+4}\)

\(MB=\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(-4-0\right)^2}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+16}\)

ΔMAB cân tại M

=>MA=MB

=>\(\left(x-5\right)^2+4=\left(x-3\right)^2+16\)

=>\(\left(x-5\right)^2-\left(x-3\right)^2=12\)

=>\(x^2-10x+25-x^2+6x-9=12\)

=>-4x+16=12

=>-4x=-4

=>x=1

vậy: M(1;0)

em ko bt

a: A(-2;0); B(0;4); C(1;1); D(-3;2)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;4\right);\overrightarrow{AD}=\left(-1;2\right)\)

Vì \(\dfrac{2}{-1}\ne2=\dfrac{4}{2}\)

nên A,B,D không thẳng hàng

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;4\right);\overrightarrow{AC}=\left(3;1\right)\)

Vì \(\dfrac{2}{3}\ne\dfrac{4}{1}\)

nên A,B,C không thẳng hàng

b: \(AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5};AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(1-4\right)^2}=\sqrt{10}\)

Vì \(CA^2+CB^2=AB^2\)

nên ΔCAB vuông tại C

=>\(S_{CAB}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\dfrac{1}{2}\cdot10=5\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosABC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{2}{BC}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

=>BC=4(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(\dfrac{AH}{2}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AH=\sqrt{3}\left(cm\right)\)