1.A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.

vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:

A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) +...+ (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2) + 2³.(1 +2) +...+ 2⁵⁹.(1 +2)

A =2.3 + 2³.3  + ... + 2⁵⁹.3

A =3.( 2 + 2³+...+ 2⁵⁹)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹)⋮3 (đpcm)

áp dụng công thức là ra :))))

\(\overline{21x}\) ⋮ 5 và 3

Vì \(\overline{21x}\) ⋮ 5 ⇒ \(x\) = 0; 5 (1) 

Vì \(\overline{21x}\) ⋮ 3 ⇒ 2 + 1 + \(x\) ⋮ 3 ⇒ \(x\) ⋮ 3

⇒ \(x\) \(\in\) {0; 3; 6; 9} (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:  \(x\) = 0

Chọn A. \(x\) = 0

A = \(\dfrac{8n+3}{6n+2}\)  (n \(\in\) N)

Gọi ước chung lớn nhất của 8n + 3 và 6n + 2 là d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}8n+3⋮d\\6n+2⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}3.\left(8n+3\right)⋮d\\4.\left(6n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}24n+9⋮d\\24n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

⇒ 24n + 9  - (24n + 8) ⋮ d

⇒    24n + 9 - 24n - 8 ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = 1

Vậy A = \(\dfrac{8n+3}{6n+2}\) là phân số tối giản (đpcm)

a,  388 : a dư 38 nên 388 - 38 ⋮ a ⇒ 350 ⋮ a ( a > 38)

      508 ⋮ a dư 18 nên 508 - 18 ⋮ a ⇒ 490 ⋮ a

       ⇒ a \(\in\) ƯC(350; 490)

350 = 2.5².7; 490 = 2.5.7²

ƯCLN(350;490) = 2.5.7 = 70

70 = 2.5.7

a \(\in\){1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}

Vì a > 38 nên a  = 70 

a,  388 : a dư 38 nên 388 - 38 ⋮ a ⇒ 350 ⋮ a ( a > 38)

      508 ⋮ a dư 18 nên 508 - 18 ⋮ a ⇒ 490 ⋮ a

       ⇒ a $\in$ ƯC(350; 490)

350 = 2.52.7; 490 = 2.5.72

ƯCLN(350;490) = 2.5.7 = 70

70 = 2.5.7

a $\in${1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}

Vì a > 38 nên a  = 70 

90 = 2.3².5; 525 = 3.5².7

ƯCLN(90; 525) = 3.5 = 15

90 = 2.32.5; 525 = 3.52.7

ƯCLN(90; 525) = 3.5 = 15

Vì a chia cho 5, 7, 11 lần lượt có số dư là: 3; 4; 6 nên a thêm vào 192 đơn vị thì chia hết cho cả 5; 7; 11

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a+192⋮5\\a+192⋮7\\a+192⋮11\end{matrix}\right.\)

       ⇒ a + 192 \(\in\) BC(5; 7; 11) 

5 = 5; 7  = 7; 11 = 11 ⇒ BCNN(5; 7; 11) = 5.7.11 = 385

⇒  a + 192 = 385.k (k \(\in\) N*)

 ⇒ a = 385.k - 192 (k \(\in\) N*)

          Dùng phương pháp phản chứng em nhé.

Giả sử tồn tại một số chính phương n thỏa mãn đề bài khi đó

Vì n là số chính phương nên n chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư (tính chất của số chính phương)

Mặt khác ta lại có: Tổng các chữ số của n là 2024

2024 : 3 = 674 dư 2

⇒  A : 3 dư 2 (trái với giải thiết) 

Vậy điều giả sử là sai nên không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn đề bài.

            Kết luận n \(\in\) \(\varnothing\) 

Lời giải:

Tổng các chữ số của $n$ là $2024$. Ta có $2+0+2+4=8$ nên $n$ chia cho $9$ dư $8$.

Mà 1 số chính phương khi chia cho $9$ dư $0,1,4,7$ nên không tồn tại $n$ thỏa mãn đề.

(81-1^2)(81-2^2)(81-3^2)....(81-9^2)

= (81-1^2)(81-2^2)(81-3^2)....(81-81)

= (81-1^2)(81-2^2)(81-3^2)....0

= 0

       Gọi số tự nhiên thỏa mãn đề bài là A, khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó ta được số mới là: \(\overline{A2}\)

             Theo bài ra ta có: \(\overline{A2}\) - A = 3341

             A x 10 + 2  - A = 3341

           A x 10 - A          = 3341 - 2

                9A = 3339

                  A = 3339 : 9

                  A = 371

   Vậy số tự nhiên cần tìm là 371 

a.

Vì $ƯCLN(a,b)=48$ nên đặt $a=48x, b=48y$ với $(x,y)=1$. Ta có:

$5a=13b$

$\Rightarrow 5.48x=13.48y$

$\Rightarrow 5x=13y$

$\Rightarrow 5x\vdots 13; 13y\vdots 5$

$\Rightarrow x\vdots 13; y\vdots 5$. Đặt $x=13m, y=5n$. Do $(x,y)=1$ nên $(n,m)=1$.

Ta có: $5.13m=13.5n\Rightarrow m=n$. Vì $(m,n)=1$ nên $m=n=1$

$\Rightarrow x=13; y=5$

$\Rightarrow x=13.48=624; y=5.48=240$

b. 

Gọi $ƯCLN(a,b)=d$ thì $a=dx, b=dy$ với $(x,y)=1$.

Khi đó:
$BCNN(a,b)=dxy=360$

$ab=dx.dy=d.dxy=6480$

$\Rightarrow d.360=6480$

$\Rightarrow d=18$

$\RIghtarrow xy=360:d=360:18=20$

Do $(x,y)=1$ nên $x,y$ có thể nhận các cặp giá trị là:

$(x,y)=(1,20), (4,5), (5,4), (20,1)$

Đến đây bạn thay vào tìm $a,b$ thôi.