a) Chọn 3 em nam và 2 em nữ có \(C_{50}^2\cdot C_{50}^3\) cách 

\(\Rightarrow P=\dfrac{C^3_{30}\cdot C_{20}^2}{C^5_{50}}=\dfrac{2755}{7567}\)   

b) TH1: 5 em nam có \(C^5_{30}\) cách

TH2: 4 em nam và 1 em nữ có: \(C^4_{30}\cdot C^1_{20}\) cách 

TH3: 3 em nam và 2 em nữ có: \(C^3_{30}\cdot C_{20}^2\) cách

TH4: 2 em nam và 3 em nữ có: \(C^2_{30}\cdot C_{20}^3\) cách 

TH5: 1 em nam và 4 em nữ có: \(C^1_{30}\cdot C^4_{20}\) cách 

Xác xuất: \(P=\dfrac{C^5_{30}+C_{30}^4\cdot C_{20}^1+C^3_{30}\cdot C^2_{20}+C^2_{30}\cdot C^3_{20}+C^1_{30}\cdot C^4_{20}}{C^5_{50}}=\dfrac{262907}{264845}\) 

c) TH1: 4 em nam và 1 em nữ có \(C^4_{30}\cdot C^1_{20}\) cách

TH2: 3 em nam và 2 em nữ có \(C^3_{30}\cdot C^2_{20}\) cách 

TH3: 2 em nam và 3 em nữ có \(C^2_{30}\cdot C^3_{20}\) cách 

TH4: 1 em nam và 4 em nữ có \(C^1_{30}\cdot C^4_{20}\) cách 

Xác xuất: \(P=\dfrac{C_{30}^4\cdot C_{20}^1+C^3_{30}\cdot C^2_{20}+C^2_{30}\cdot C^3_{20}+C^1_{30}\cdot C^4_{20}}{C^5_{50}}=\dfrac{8525}{9212}\)

1.

Ta có:

\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1>n\left(n+2\right)\)

Lấy logarit 2 vế:

\(ln\left(n+1\right)^2>ln\left[n\left(n+2\right)\right]\)

\(\Rightarrow2ln\left(n+1\right)>ln\left(n\right)+ln\left(n+2\right)\ge2\sqrt{ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)}\)

\(\Rightarrow ln^2\left(n+1\right)>ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{ln\left(n+1\right)}{ln\left(n\right)}>\dfrac{ln\left(n+2\right)}{ln\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow log_n\left(n+1\right)>log_{n+1}\left(n+2\right)\)

2.

\(\int\dfrac{x^3-1}{x^4+x}dx=\int\dfrac{2x^3-\left(x^3+1\right)}{x\left(x^3+1\right)}dx=\int\dfrac{2x^2}{x^3+1}dx-\int\dfrac{1}{x}dx\)

\(=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{d\left(x^3+1\right)}{x^3+1}-\int\dfrac{dx}{x}\)

\(=\dfrac{2}{3}ln\left|x^3+1\right|-ln\left|x\right|+C\)