\(a,V=\left(\dfrac{1.\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-4}\right).\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2}{x-4}.\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ =\dfrac{2\sqrt{x}}{x-4}.\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ =\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)

\(b.\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow6=\sqrt{x}-2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=8\\ \Leftrightarrow x=64\left(t/m\right)\)

a: Diện tích xung quanh của bể là:

(24+15)x2x4,5=9x39=351(dm²)

Diện tích gạch cần dùng là:

351+24x15=711(dm²)

b: Thể tích trong bể hiện tại là:

24x15x4,5x3/5=972(lít)

\(CD=\dfrac{1}{2}BC\)

=>BC=2CD

=>\(S_{ABC}=2\times S_{ADC}=2\times145=290\left(cm^2\right)\)

\(đk:\left\{{}\begin{matrix}x\ne-\dfrac{1}{3}\\x\ne\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left(\dfrac{3x}{1-3x}+\dfrac{2x}{3x+1}\right):\left(\dfrac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}\right)\\ =\left(\dfrac{3x\left(3x+1\right)+2x\left(1-3x\right)}{1-9x^2}\right)\times\left(\dfrac{\left(1-3x\right)^2}{6x^2+10x}\right)\\ =\left(\dfrac{9x^2+3x+2x-6x^2}{1-9x^2}\right)\times\left(\dfrac{\left(1-3x\right)^2}{2x\left(3x+5\right)}\right)\\ =\left(\dfrac{3x^2+5x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}\right)\times\left(\dfrac{\left(1-3x\right)^2}{2\left(3x^2+5x\right)}\right)\\ =\dfrac{1-3x}{2.\left(1+3x\right)}\)

 a) Ta có \(VT=cot^2\alpha+1=\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}+1\) \(=\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{sin^2\alpha}\) \(=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\) \(=VP\), vậy đẳng thức được chứng minh.

 b) \(cot\alpha=3\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{1}{3}\) (do \(tan\alpha.cot\alpha=1\))

 Có \(\dfrac{1}{sin^2\alpha}=1+cot^2\alpha=1+3^2=10\) \(\Rightarrow sin^2\alpha=\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

 Lại có \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) \(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) 

a) cot²∝ + 1

= cos²∝/sin²∝ + 1

= (cos²∝ + sin²∝)/sin²∝

= 1/sin²∝

b) cot∝ = 3

⇒ cot²∝ + 1 = 10

⇒ 1/sin²∝ = 10

⇒ sin²∝ = 1/10

⇒ sin∝ = √10/10 (do nhọn)

Lại có:

sin²∝ + cos²∝ = 1

⇒ cos²∝ = 1 - sin²∝

= 1 - 1/10

= 9/10

⇒ cos∝ = 3√10/10

cot∝ = 3

⇒ tan∝ = 1/3

a: \(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\)

=>\(cot^2\alpha=1:\dfrac{1}{9}-1=9-1=8\)

=>\(cot\alpha=2\sqrt{2}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

b: \(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\)

=>\(1+tan^2\alpha=1:\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

=>\(tan^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2}\)

*Tham khảo:

Khi nào tổng hai góc bằng 180 độ?

1. Góc kề bù: Hai góc chung một cạnh và nằm trên đường thẳng.
2. Góc trong cùng phía: Trong tam giác, góc ngoài và góc trong không liền kề nó.
3. Góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng.

Khi nào hai góc cùng nhìn một cạnh?

1. Góc nội tiếp: Hai góc có đỉnh nằm trên đường tròn và cùng nhìn về một cung tròn.
2. Góc cùng nhìn về một đoạn thẳng từ cùng một phía: Thường xuất hiện trong các hình đối xứng như hình thang cân.

Mẹo: 
- Góc kề bù và góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song: Tổng 180 độ.
- Góc nội tiếp: Bằng nhau nếu cùng nhìn về một cung tròn.

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

b: ΔODE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)DE tại K

Xét tứ giác ABKO có \(\widehat{ABO}=\widehat{AKO}=90^0\)

nên ABKO là tứ giác nội tiếp

=>A,B,K,O cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

\(\widehat{ACD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CD

\(\widehat{DEC}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{DEC}\)

Xét ΔACD và ΔAEC có

\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\)

\(\widehat{CAD}\) chung

Do đó: ΔACD~ΔAEC

=>\(\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}\)

=>\(AC^2=AD\cdot AE\)

=>\(AD\cdot9=6^2=36\)

=>AD=4(cm)

AD+DE=AE

=>DE+4=9

=>DE=5(cm)