\(\dfrac{1}{5+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5-2\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{5-2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}}{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}\)

\(=\dfrac{10}{25-12}=\dfrac{10}{13}\)

\(\dfrac{1}{5+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5-2\sqrt{3}}\\ =\dfrac{5-2\sqrt{3}}{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}+\dfrac{5+2\sqrt{3}}{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}\\ =\dfrac{5-2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}}{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}\\ =\dfrac{10}{5^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2}\\ =\dfrac{5+5}{25-12}=\dfrac{10}{13}\)

a: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

=>BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

Tâm I là trung điểm của BC

b: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB\cdot AE\)

c: Xét tứ giác BHCK có

I là trung điểm chung của BC và HK

nên BHCK là hình bình hành

=>BH//CK và BK//CH

=>\(CK\perp AC;AB\perp BK\)

Xét tứ giác ABKC có

\(\widehat{ABK}+\widehat{ACK}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABKC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AK

=>ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AK

=>A,O,K thẳng hàng và O là trung điểm của AK

d: XétΔKAH có

I,O lần lượt là trung điểm của KH,KA

=>IO là đường trung bình

=>AH=2OI

Xét (O) có

NQ,MP là các dây

MN=PQ

Do đó: NQ//MP

Xét ΔAMP có NQ//MP

nên \(\dfrac{AN}{NM}=\dfrac{AQ}{QP}\)

mà NM=QP

nên AN=AQ

AN+NM=AM

AQ+QP=AP

mà AN=AQ và NM=PQ

nên AM=AP

OM=OP

AM=AP

Do đó: OA là đường trung trực của PM

=>OA vuông góc với PM

Ta có:

2 tia phân giác ngoài và trong tạo với nhau 1 góc bằng 90 độ

=> \(\widehat{DBE}=90^o\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác DAB

=> \(DB=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{5}cm\)

ÁP dụng hệt thức lượng vào tam giác vuông DBE 

=> \(DB^2=DA.DE\Rightarrow DE=\dfrac{DB^2}{AD}=\dfrac{\left(2\sqrt{5}\right)^2}{2}=10cm\)

Ta có: `{(x_1 < 1),(x_2 < 1):}=>(x_1 -1)(x_2 -1) > 0`

Phương trình có `2` nghiệm phân biệt

   `=>\Delta > 0`

`<=>[-(m-1)]^2+4m > 0`

`<=>m^2-2m+4m+1 > 0`

`<=>m^2+2m+1 > 0<=>(m+1)^2 > 0`

    `=>m+1 ne 0<=>m ne -1`

 `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=m-1),(x_1.x_2=c/a=-m):}`

Ta có: `(x_1 -1)(x_2 -1) > 0`

`<=>x_1 .x_2-(x_1 +x_2)+1 > 0`

`<=>-m-m+1+1 > 0`

`<=>m < 1`

  Mà `m ne -1`

  `=>m < 1,m ne -1`.

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4.\left(-m\right)\)

\(=\left(m^2-2m+1\right)+4m=\left(m+1\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt => \(m\ne-1\)

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m-1+m+1}{2}=m\\x_2=\dfrac{m-1-m-1}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt bé 1

\(\Rightarrow m< 1\)

\(cosA+cosB+cosC\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}+1-2sin^2\dfrac{C}{2}-\dfrac{3}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow-2sin^2\dfrac{C}{2}+2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+2xcos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\left(1\right)\left(x=sin\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Delta'=cos^2\dfrac{A-B}{2}-1\)

mà \(0\le cos^2\dfrac{A-B}{2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Delta'\le0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2x^2+2xcos\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{1}{2}\le0\left(đúng\right)\)

\(\Leftrightarrow cosA+cosB+cosC\le\dfrac{3}{2}\left(dpcm\right)\)

\(A=\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\left(a>0;b>0;a\ne b\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=a-b\)

\(A=\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=a-b\)

`a)x=16` t/m đk, thay vào `A` có: `A=[\sqrt{16}+2]/[\sqrt{16}+5]=2/3`

`b)` Với `x >= 0,x ne 4` có:

`B=[x+20]/[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)]+[\sqrt{x}-2-6(\sqrt{x}+2)]/[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)]`

`B=[x+20+\sqrt{x}-2-6\sqrt{x}-12]/[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)]`

`B=[x-5\sqrt{x}+6]/[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)]`

`B=[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)]/[(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)]`

`B=[\sqrt{x}-3]/[\sqrt{x}+2]`   (đpcm)

`c)` Với `x >= 0,x ne 4` có:

`\sqrt{AB} < 1/2`

`<=>\sqrt{[(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-3)]/[(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}+2)]} < 1/2`

`<=>\sqrt{[\sqrt{x}-3]/[\sqrt{x}+5]} < 1/2`

`<=>[\sqrt{x}-3]/[\sqrt{x}+5] < 1/4`

`<=>[4\sqrt{x}-12-\sqrt{x}-5]/[4(\sqrt{x}+5)] < 0`

`<=>[3\sqrt{x}-17]/[\sqrt{x}+5] < 0`

  Với `x >= 0,x ne 4=>\sqrt{x}+5 > 0`

  `=>3\sqrt{x}-17 < 0`

`<=>\sqrt{x} < 17/3`

`<=>x < 289/9`

  Mà `x >= 0,x ne 4`

   `=>0 <= x < 289/9,x ne 4`.

a) x=16

=> \(A=\dfrac{\sqrt{16}+2}{\sqrt{16}+5}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\)

b) \(B=\dfrac{x+20+\sqrt{x}-2-6\left(\sqrt{x}+2\right)}{x-4}\)

\(=\dfrac{x-5\sqrt{x}+6}{x-4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+2}}\)

c) \(\sqrt{AB}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+5}}\left(đk:x\ge9\right)\)

\(\sqrt{AB}< \dfrac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+5}}< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+5>4\left(\sqrt{x}-3\right)\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}< 17\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< \dfrac{17}{3}\) \(\Rightarrow0\le x< \dfrac{289}{3}\)