Tỉ số lượng giác là các cặp tỉ số giữa các cạnh của tam giác vuông không đổi 

Có 4 tỉ số lượng giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}\\cosa=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}\\tana=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}\\cota=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}\end{matrix}\right.\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{6^2}{10}=3.6\\CH=\dfrac{8^2}{10}=6.4\\AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\end{matrix}\right.\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

c: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN=4,8

18b:

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+5>=0\\x>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>=0\)

\(\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}\)

=>\(\left(\sqrt{x+5}\right)^2=\left(1+\sqrt{x}\right)^2\)

=>\(x+2\sqrt{x}+1=x+5\)

=>\(2\sqrt{x}=4\)

=>\(\sqrt{x}=2\)

=>x=4(nhận)

b: ĐKXĐ: 2x+1>=0

=>\(x>=-\dfrac{1}{2}\)

\(5\sqrt{2x+1}+\dfrac{7}{3}\sqrt{18x+9}-\sqrt{8x+4}-\sqrt{2x+1}=18\)

=>\(4\sqrt{2x+1}+\dfrac{7}{3}\cdot3\sqrt{2x+1}-2\sqrt{2x+1}=18\)

=>\(9\sqrt{2x+1}=18\)

=>\(2x+1=4\)

=>\(x=\dfrac{3}{2}\left(nhận\right)\)

a:

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\3x-2>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>=\dfrac{2}{3}\)

\(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}=2\)

=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\right)^2=4\)

=>\(x+3x-2+2\sqrt{x\left(3x-2\right)}=4\)

=>\(4x-2+2\sqrt{x\left(3x-2\right)}=4\)

=>\(2\sqrt{x\left(3x-2\right)}=4x-6\)

=>\(\sqrt{3x^2-2x}=2x-3\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{3}{2}\\3x^2-2x=4x^2-12x+9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{3}{2}\\4x^2-12x+9-3x^2+2x=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=\dfrac{3}{2}\\x^2-10x+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=9\)

b: ĐKXĐ: x+1>=0

=>x>=-1

\(2\sqrt{9x+9}-\dfrac{1}{4}\sqrt{16x+16}-5\sqrt{x+1}=-6-\sqrt{4x+4}\)

=>\(6\sqrt{x+1}-\dfrac{1}{4}\cdot4\sqrt{x+1}-5\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+4}=-6\)

=>\(6\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1}-5\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}=-6\)

=>\(2\sqrt{x+1}=-6\)(vô lý)

Vậy: Phương trình vô nghiệm

Hàm số đi qua điểm \(A\left(-1;2\right)\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(2=m\cdot-1-2\)

\(\Leftrightarrow-m=2+2\)

\(\Leftrightarrow m=-4\)

Vậy:... 

Thay x=-1 và y=2 vào (d), ta được:

-m-2=2

=>-m=4

=>m=-4

45:

1: Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

AB=AC

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

2:

ΔOBA vuông tại B

=>\(BA^2+BO^2=AO^2\)

=>\(BA=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\sqrt{3}\)

AB=AC

OB=OC

=>OA là đường trung trực của BC

=>OA vuông góc BC tại H và H là trung điểm của BC

ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BH\cdot2R=R\cdot R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}\)

=>\(BH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

=>\(BC=2\cdot BH=R\sqrt{3}\)
3: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}OH\cdot OA=OB^2\\AH\cdot AO=AB^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}OH=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\\AH=\dfrac{\left(R\sqrt{3}\right)^2}{2R}=\dfrac{3R^2}{2R}=\dfrac{3}{2}R\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}+1\\ =\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}}-\dfrac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}+1\\ =\sqrt{3}+1-\dfrac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}+1\\ =\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)+1\\ =\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1+1\\ =3\)

\(A=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}}-\dfrac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}+1\)

\(=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1+1\)

=1+1+1

=3

a) \(P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8x}{x-4}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}+3\right)\) (ĐK: \(x\ne4;x\ge0\))

\(P=\left[\dfrac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]:\dfrac{\sqrt{x}+2+3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\dfrac{4x-8\sqrt{x}-8x}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+2+3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\dfrac{-4x-8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-2}{4\sqrt{x}-4}\)

\(P=\dfrac{-4\sqrt{x}}{4\sqrt{x}-4}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

b) \(P=-4\) khi:

\(\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=-4+4\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{9}\left(tm\right)\)

\(\sqrt{x}+2+3\sqrt{x}-6=4\sqrt{x}-4\) mà=)))

b) \(\sqrt{x^2}=\left|-8\right|\)

\(\Rightarrow\left|x\right|=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-8\end{matrix}\right.\)

d) \(\sqrt{9x^2}=\left|-12\right|\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(3x\right)^2}=12\)

\(\Rightarrow\left|3x\right|=12\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=12\\3x=-12\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{12}{3}\\x=-\dfrac{12}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x< >9\end{matrix}\right.\)

a: \(P=\dfrac{x\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{x\sqrt{x}-3-2\left(\sqrt{x}-3\right)^2-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-4\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

b: Khi \(x=14-6\sqrt{5}\) thì \(P=\dfrac{14-6\sqrt{5}+8}{3-\sqrt{5}+1}=\dfrac{22-6\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}=\dfrac{58-2\sqrt{5}}{11}\)

e: Để P nguyên thì \(x+8⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(x-1+9⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1\in\left\{1;3;9\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;2;8\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;4;64\right\}\)

\(A=2\cdot sin^2a+5\cdot\left(1-sin^2a\right)\)

\(=-3\cdot sin^2a+5\)

\(=-3\cdot\dfrac{4}{9}+5\)

\(=5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}\)

Ta có:

\(sin^2a+cos^2a=1\)

\(\Rightarrow cos^2a=1-sin^2a\)

Thay vào A ta có:

\(A=2\cdot sin^2a+5\cdot\left(1-sin^2a\right)\)

\(A=2\cdot sin^2a+5-5sin^2a\)

\(A=-3\cdot sin^2a+5\)

Mà: \(sina=\dfrac{2}{3}\Rightarrow sin^2a=\dfrac{4}{9}\)

\(A=-3\cdot\dfrac{4}{9}+5\)

\(A=-\dfrac{4}{3}+5\)

\(A=\dfrac{11}{3}\)