Gọi số năm để người đó nhận được tổng số tiền nhiều 300 triệu là x(năm)

(Điều kiện: x>0)

Sau x năm, số tiền người đó nhận được sẽ là:

\(100\cdot10^6\left(1+0,06\right)^x\left(đồng\right)\)

Theo đề, ta có: \(100\cdot10^6\left(1+0,06\right)^x=300\cdot10^6\)

=>\(\left(1+0,06\right)^x=3\)

=>\(x\simeq19\)

vậy: Sau 19 năm thì tổng số tiền người đó nhận được sẽ nhiều hơn 300 triệu

Số tiền lãi của người đó là:

100000000÷ 100× 6= 6000000(tiền)

Số tiền gốc và lãi sau số năm thì hơn 300 triệu là:

300000000-100000000+6000000=33,5(năm)

Mực nước trong bể hiện tại có chiều cao là:
40-5=35(cm)

Thể tích nước có trong bể cá là

\(50\times30\times35=52500\left(cm^3\right)\)

\(f'\left(x\right)=\left(\dfrac{x^2+3x-5}{x+2}\right)'\)

\(=\dfrac{\left(x^2+3x-5\right)'\left(x+2\right)-\left(x^2+3x-5\right)\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(2x+3\right)\left(x+2\right)-\left(x^2+3x-5\right)}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{2x^2+7x+6-x^2-3x+5}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x^2+4x+11}{\left(x+2\right)^2}\)

\(f'\left(1\right)=\dfrac{1^2+4\cdot1+11}{\left(1+2\right)^2}=\dfrac{16}{9}\)

\(B=\dfrac{3+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{7}}{5+\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{7}}+\dfrac{1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{5-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{3}}\)

\(=\dfrac{3\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}\right)}{5\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}\right)}-\dfrac{1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{5\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5}\)

\(s\left(t\right)=t^2-4t+3\)

=>\(v\left(t\right)=s'\left(t\right)=2t-4\)

=>\(a\left(t\right)=v'\left(t\right)=2\cdot1=2\)

=>a(4)=2

Bài 5:

a: \(A=\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+...+\dfrac{1}{99\times100}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}\)

b: \(B=\dfrac{1}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times7}+\dfrac{1}{7\times9}+\dfrac{3}{9\times15}+\dfrac{6}{15\times27}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{4}{3\times7}+\dfrac{2}{7\times9}+\dfrac{6}{9\times15}+\dfrac{12}{15\times27}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{27}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{27}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{26}{27}=\dfrac{13}{27}\)

c: \(C=\dfrac{1}{1\times3}+\dfrac{1}{3\times5}+...+\dfrac{1}{2011\times2013}\)

\(=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times5}+...+\dfrac{2}{2011\times2013}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2013}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{2013}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2012}{2013}=\dfrac{1006}{2013}\)

Bài 3:

a: Khi m=2006; n=2007; p=2008 thì

\(S=2006\times2+2007\times2+2008\times2=2\times\left(2006+2007+2008\right)=12042\)

b: \(S=m\times2+n\times2+p\times2=2\times\left(m+n+p\right)=2\times2009=4018\)

\(M=\dfrac{1}{1\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot9}+...+\dfrac{1}{n\left(n+4\right)}\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{1\cdot5}+\dfrac{4}{5\cdot9}+...+\dfrac{4}{n\left(n+4\right)}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+4}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{n+4}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{n+4-1}{n+4}=\dfrac{n+3}{4\left(n+4\right)}\)

\(\dfrac{2}{3}\) + \(x+\dfrac{1}{4}\)\(x\) = - \(\dfrac{22}{27}\)

       \(x+\dfrac{1}{4}x\) = - \(\dfrac{22}{27}\) - \(\dfrac{2}{3}\)

        \(\dfrac{5}{4}x\)      = - \(\dfrac{40}{27}\)

            \(x=-\dfrac{40}{27}:\dfrac{5}{4}\)

            \(x=-\dfrac{32}{27}\)

Vậy \(x=-\dfrac{32}{27}\)

a: Đặt a/b=c/d=k

=>\(a=bk;c=dk\)

\(\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2=\left(\dfrac{bk-b}{dk-d}\right)^2=\left(\dfrac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}\right)^2=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2\)

\(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot k}=\dfrac{b^2\cdot k}{d^2\cdot k}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Do đó: \(\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}\)

b: \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^3=\left(\dfrac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^3=\left(\dfrac{b}{d}\right)^3\)

\(\dfrac{a^3-b^3}{c^3-d^3}=\dfrac{b^3k^3-b^3}{d^3k^3-d^3}=\dfrac{b^3\left(k^3-1\right)}{d^3\left(k^3-1\right)}=\dfrac{b^3}{d^3}\)

Do đó: \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3=\dfrac{a^3-b^3}{c^3-d^3}\)

Trên tia ssoois của MA lấy D sao cho DM=AM

Mà BM=CM (gt)

=> ABCD là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ABCD là hình chữ nhật => AD=BC (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

Ta có

\(AM=\dfrac{AD}{2}\) mà \(AD=BC\left(cmt\right)\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\) 

Gọi tam giác vuông đề bài cho là ΔABC vuông tại A, đường trung tuyến AM

Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho MA=MD

Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

=>AB//DC

Ta có: AB//DC

AB\(\perp\)AC

Do đó: CD\(\perp\)CA

Xét ΔBAC vuông tại A và ΔDCA vuông tại C có

BA=DC

AC chung

Do đó: ΔBAC=ΔDCA

=>BC=DA

mà DA=2AM

nên BC=2AM

=>\(AM=\dfrac{1}{2}BC\)(ĐPCM)