\(a^4+6a^3+11a^2+6a=a\left(a^3+6a^2+11a+6\right).\)

Nhẩm nghiệm ta thấy \(a^3+6a^2+11a+6\) có 1 nghiệm là -1 nên

\(a^3+6a^2+11a+6=\left(a+1\right)\left(a^2+5a+6\right)\)

giải đa thức bậc 2 \(a^2+5a+6\) có 2 nghiệm là -2 và -3 

\(\Rightarrow a^4+6a^3+11a^2+6a=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)⋮24\)  khi đồng thời chia hết cho 2;3;4

+ Trong 4 số TN liên tiếp chắc chắn có 2 số chẵn nên tích 4 số TN liên tiếp chia hết cho 2

+ Trong 4 số TN liên tiếp chắc chắn có 2 số chẵn nên chắc chắn có 1 số chẵn chia hết cho 4

+ nếu a chia hết cho 3 thì tích a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 3

+ Nếu a chia 3 dư 1 => a+2 chia hết cho 3 => a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 3

+ Nếu a chia 3 dư 2 => a+1 chia hết cho 3 => a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 3

Nên a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 3 với mọi a

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)⋮24\forall a\)

ta có : 

\(2\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left[2\left(x+y\right)-1\right]\)

2x(x+3)+2(x+3)=0
=> (x+3)(2x+2)=0
=> 2(x+3)(x+1)=0

TH1: x+3=0 => x = -3

TH2: x+1=0 => x=-1

\(2x.\left(x+3\right)+2.\left(x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right).\left(2x+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\2x+2=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0-3\\2x=0-2\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-1\end{cases}}\)

ta có : đa thức

\(-x^3+6x^2-x+a\text{ chia hết cho x-1}\) khi nó cũng có nghiệm x=1

vậy ta có :

\(-1^3+6.1^2-1+a=0\Leftrightarrow a=-4\)

áp dụng hằng đẳng thức: \(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\left(8y^3+8\right):\left(4y^2-4y+4\right)\)

\(=[\left(2y\right)^3+2^3]:\left(4y^2-4y+4\right)\)

\(=\left(2y+2\right).[\left(2y\right)^2-2y.2+2^2]:\left(4y^2-4y+4\right)\)

\(=\left(2y+2\right).\left(4y^2-4y+4\right):\left(4y^2-4y+4\right)\)

\(=2y+2\)