a) Vì \(MN//BC\) nên \(\widehat {MNB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong)

Vì \(MB//AC\) nên \(\widehat {MNB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(BNM\) tam giác \(ABC\) ta có:

\(\widehat {MNB} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {MNB} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta BNM\backsim\Delta ABC\) (g.g)

b) Vì \(\Delta BNM\backsim\Delta ABC\) nên \(\widehat M = \widehat C = 48^\circ \) (hai góc tương ứng).

a) Ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3};\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{2}{3}\)

\(\widehat A\) chung

Do đó, \(\Delta AFE\backsim\Delta ABC\) (c.g.c)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Do đó, \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EF = \frac{{BC.2}}{3} = \frac{{18.2}}{3} = 12\)

Vậy \(BC = 12cm\).

b) Vì \(FC = FD\) nên tam giác \(FDC\) cân tại \(F\).

Suy ra, \(\widehat {FDC} = \widehat {FCD}\) (tính chất)

Ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4};\frac{{BC}}{{DE}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\)

Xét tam giác \(ABC\) và tam giác \(MED\) ta có:

\(\frac{{AC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{DE}} = \frac{3}{4}\)

\(\widehat {FCD} = \widehat {FDC}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta MED\) (c.g.c).

Ta có:

\(\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{7,8}}{{13}} = \frac{3}{5};\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(MNP\) ta có:

\(\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{DE}}{{MN}} = \frac{3}{5}\)

\(\widehat E = \widehat N\) (giải thuyết)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta MNP\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat F = \widehat P = 42^\circ \).

- Xét Hình 16a

Ta có: \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2};\frac{{DF}}{{AC}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác \(DEF\) và tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DF}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

\(\widehat {BAC} = \widehat {EDF} = 120^\circ \)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta ABC\) (c.g.g)

- Xét Hình 16b

Ta có: \(\frac{{CE}}{{NP}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};\frac{{DE}}{{MP}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\)

Tuy nhiên, quan sát hình vẽ ta có thể thấy góc tạo bởi cạnh \(MP;NP\) là \(\widehat P\) và góc tạo bởi cạnh \(DE;CE\) là góc \(\widehat E\).

Ta thấy hai góc này không bằng nhau nên chúng không đồng dạng.

Quan sát hình vẽ ta thấy, cạnh ngắn nhất của tam giác \(ABC\) là cạnh \(AC\);cạnh ngắn nhất của tam giác \(DEF\) là cạnh \(DF\).

Do đó, ta có: \(\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{600}}{{300}} = 2\).

Do đó, tỉ số chu vi của tam giác \(ABC\) và tam giác \(DEF\) là 2.

Chu vi tam giác \(DEF\) là: \(300 + 350 + 550 = 1200m\)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(1200.2 = 2400m\).

Quãng đường bạn Nam đã chạy là: \(1200.4 = 4800m\)

Quãng đường bạn Hùng đã chạy là: \(2400.2 = 4800m\).

Do đó, hai bạn Nam và Hùng đã chạy hai quãng đường bằng nhau.

Vì tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(A'B'C'\) nên tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\). Do đó, \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{{A'B'}}{4} = \frac{{B'C'}}{9} = \frac{{A'C'}}{6}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{{A'B'}}{4} = \frac{{B'C'}}{9} = \frac{{A'C'}}{6} = \frac{{A'B' + B'C' + A'C'}}{{4 + 6 + 9}} = \frac{{66,5}}{{19}} = 3,5\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{4} = 3,5 \Rightarrow A'B' = 3,5.4 = 14\\\frac{{A'C'}}{6} = 3,5 \Rightarrow A'C' = 3,5.6 = 21\\\frac{{B'C'}}{9} = 3,5 \Rightarrow B'C' = 3,5.9 = 31,5\end{array} \right.\)

Vậy \(A'B' = 14cm,A'C' = 21cm,B'C' = 31,5cm\).

a) Ta có:

\(\frac{{AF}}{{MN}} = \frac{b}{{3b}} = \frac{1}{3};\frac{{AE}}{{MG}} = \frac{c}{{3c}} = \frac{1}{3};\frac{{EF}}{{NG}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác \(AFE\) và tam giác \(MNG\) có:

\(\frac{{AF}}{{MN}} = \frac{1}{3};\frac{{AE}}{{MG}} = \frac{1}{3};\frac{{EF}}{{NG}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AF}}{{MN}} = \frac{{AE}}{{MG}} = \frac{{EF}}{{NG}}\)

Do đó, \(\Delta AFE\backsim\Delta MNG\) (c.c.c)

b) Tỉ số đồng dạng của tam giác \(AFE\) và tam giác \(MNG\)  là \(\frac{1}{3}\).

Do đó, tỉ số chu vi của của tam giác \(AFE\) và tam giác \(MNG\)  là \(\frac{1}{3}\) (tính chất)

Do đó, chu vi tam giác \(MNG\) là: \(15.3 = 45cm\)

Vậy chu vi tam giác \(MNG\) là 45 cm.

- Ở hai tam giác bằng nhau yêu cầu các cạnh tương ứng bằng nhau còn ở hai tam giác đồng dạng yêu cầu các cạnh tương ứng có cùng tỉ lê.

- Hai tam giác bằng nhau có ba trường hợp: cạnh góc cạnh, cạnh cạnh cạnh, góc cạnh góc.

- Hai tam giác đồng dạng có ba trường hợp: cạnh góc cạnh, cạnh cạnh cạnh, góc góc.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang có \(AB//CD\) nên \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(ABO\) và tam giác \(CDO\) có:

\(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta ABO\backsim\Delta CDO\) (g.g)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{OB}}{{OD}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{6}{{15}} = \frac{{OB}}{8} \Rightarrow OB = \frac{{6.8}}{{15}} = 3,2\)

Vậy \(OB = 3,2m\).

a) Xét tam giác \(A'B'C'\) ta có:

\(\widehat {A'} + \widehat {B'} + \widehat {C'} = 180^\circ \)

Thay số: \(79^\circ  + \widehat {B'} + 41^\circ  = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {B'} = 180^\circ  - 79^\circ  - 41^\circ  = 60^\circ \)

 Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) ta có:

\(\widehat A = \widehat {A'} = 79^\circ \) (giả thuyết)

\(\widehat B = \widehat {B'} = 60^\circ \) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\) (g.g)

b) Vì \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\) nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\) (các cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, \(\frac{4}{6} = \frac{6}{{B'C'}} \Rightarrow B'C' = \frac{{6.6}}{4} = 9\)

Vậy \(B'C' = 9\).